定积分的简单应用——求体积
-
（北师大版）选修
2-2
：定积分
编写教师：焦旭利
4.2
定积分的简单应用
(
二
)
复习：
（
1
）
求曲边梯形面积的方法是什么？
（
2
）
定积分的几何意义是什么？
（
3
）
微积分基本定理是什么？
引入：
我们前面学习了定积分的简单
应用——求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面
我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1.
简单几何体的体积计算
问题：设由连
续曲线
y
f
(
x
)
和直线
x
a
，
x<
/p>
b
及
x
轴围成的平面图形（如图甲）绕
x
轴
旋转一周所得旋转体的体积为
V
，如何求
V
？
分析：
在
区间
[
a
,
b
]
内插入
n
1
个分点，使
a
x
0
x
1
x
2
x
n
1
x
n
b
< br>，把曲线
，如图甲所示。设第
i
个“小长条”
y
f
< br>(
x
)
（
a
x
b
）分割成
n
个垂直于
< br>x
轴的“小长条”
的宽是
x
i
x
i
x
i
1
，
i
< br>
1,2,
,
n
。
这个
“小长条”
绕
x
轴旋转一周就得到一个厚度是
x
i
的
< br>小圆片，如图乙所示。当
x
i
很小时，第
i
个小圆片近似于底面半径
为
y
i
f<
/p>
(
x
i
)
的小圆柱。
因此，第
i
个小圆台的体积
V
i
近似为
V
i
f
2
(
x
< br>i
)
x
i
该几何体的体积
V
等于所有小圆柱的体积和：
V
[
f
2
(
x
1
)<
/p>
x
1
f
2
(
x
2
)
x
2
f
2
(
x
n
)
x
n<
/p>
]
这个问题就是积分问题，则有：
b<
/p>
b
V
f
(
x
)
dx
f
2
(
< br>x
)
dx
a
a
2
1
（北师大版）选修
2-2
：定积分
编写教师：焦旭利
归纳：
设旋转体是由连续曲线
y
f
(
x
)
和直线
x
a
，
x
b
及
x
轴围成的曲边梯形绕
x
轴旋转
而成
，则所得到的几何体的体积为
V
<
/p>
2.
利用定积分求旋转体的体积
（
1
）
找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数
（
2
）
分清端点
（
3
）
确定几何体的构造
（
4
）
利用定积分进行体积计算
3.
一个以
y
轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕
y
轴旋转得到的旋转体的体积，
则积分
变量变为
y
，
其公式为
V
类型一：求简单几何体
的体积
例
1
：给定一个边长为
a
的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几
何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定
积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解
：
以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为
x
,
y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
如图
BC
:
y
a
。则该旋转体即为圆柱的体积为：
a
V
a
< br>2
dx
a
2
x
|
0
a
3<
/p>
0
a
b
a
f
2
(
x
)
dx
b
a
< br>g
2
(
y
)
dy
规律方法：
求旋转体的体积，应先建
立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为
f
(
x
)
。确定积分上、下限
a
,
b
，则体积
V
f
2
(
x
)
dx
a
b
练习
1
：如图所示，给定直角边为
a
的等腰直角三角形，绕
y
轴旋转
一周，求形成的几何体的
体积。
解：
形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
a
V
a
2
a
0
a
y
< br>2
dy
a
3
y
|
3
0
<
/p>
1
3
2
a
3
2
3