(完整版)祖暅原理与球的体积
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延边大学研究生教案（案例教学）
周
次
章
节
名
称
教学
目的
要求
第
周，
第
次课
祖暅原理与球的体积
①让学生了解“
实验数学”的含义，经历“实验、猜测、论证”等有
意义的学习数学过程；
②帮助学生理解运用祖暅原理解决问题的过程；
③让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系。
教学
重点：理解运用祖暅原理解决问题
重点
难点：把握相关几何体体积之间的关系
难点
讲授法（√
）
谈话法（
）
讨论法（
）
演示法（√
）
实验法（√
）
练习法（
）
读书指导法（
√
）
事实性（案例）教学策略
（√
）
直观（活动、情景剧）教学策略（√
）
联系实际（体验、诊断）教学策略（√
）
情感态度（感悟）教学策略（
）
教学
方法
教学
策略
教学组织
课堂教学（√
）团队学习（
）专题研讨（
）
形式
现场教学（√
）案例分析（√
）教育调查（
）
学生学习
科学探究模式（√
）
自主学习模式（
）
模式
合作学习模式
（
）
“读读、
< br>议议、
讲讲、
练练”
的模式
（√
）
本教案采用“自测”、“猜想”、“实验”、“证明”
等环节的
设计方法，
旨在让学生对“做数学”的过程有一个完整
的认识。
本设
计的一个主要特点是引入实验。许多数学发现都源
于实验——观察、
试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔所说：“从事创造性数学的人都<
/p>
知道，
在与数学相关的任何问题中直觉比严密的逻辑过程起着更为
重
要的作用”。
而在数学教学中适当引入实验，
对思维过程及数学思想
案例讨论
的培养都十分有利。<
/p>
它体现出“数学是做出来的——作为活动，
数学
< br>的课前准
是动态的可创造的，
结论或操作程序未知的。<
/p>
”而学生的数学学习过
备阶段
程是一种“再创造”。
事实上，
通过“细沙实验”，
学生不但可以对球的体积公式较容
易理解，而且可以加深公式的记忆。
①提出问题<
/p>
V
球
=?
为了
计算半径为
R
的球的体积，可以先计算半球的体积。让学生
自测圆柱、半球、圆锥散着体积的大小，得
V
圆柱
>V
半球
>V
< br>圆锥
R
R
1
3
3
3
由
于
V
圆
柱
=
R
< br>，
V
圆
锥
=
3
R
是
已
知
的
，
便
得
R
>V
半
1
3
3
球
>
3
R
,
可以先引导学生猜想
V
半球
=
？（其中，可将
R
的系数
1
3
3
1
3
3
3
3
3
改写为
，得
R
>V
半球
>
R
。
）
案例
请学生将此实验结果用式子表达出来：
1
2
3
3
R
R
3
V
半球
=V
圆柱<
/p>
-V
圆锥
=
<
/p>
R
-
3
=
3
4
R
3
于是
V
球
=
3
< br>且
V
圆柱：
V
< br>半球：
V
圆锥
=3:2:1 <
/p>
③下面验证这个实验结果，即证明图
5-2
左边充满细沙的半球与
右边充满细沙的几何体是等体积的，而右边的几何体体积是已知
的
1
2
3<
/p>
R
R
3
3
V=
R
-
3
=
3
如果能证明它
又符合祖暅原理中的“条件”
，我们就可以将它作