正方形—培优拔高(奥数)专题讲义
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正方形—培优拔高（奥数）专题讲义
阅读与思考
矩形、
菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的
平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱
形的性质来研究正方形的有关问题．
正方形问
题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，
熟悉以下基本图形．
例题与求解
A
G
【例
l
】
如图，在正方形纸片
ABCD
中，对角
线
AC
，
BD
交于点
O
，折叠
正方形纸片
ABCD
，使
AD
落在<
/p>
BD
上，点
A
恰
好与
BD
上的点
F
重合，展开
E
后，折痕
DE
分别交
AB
，
AC<
/p>
于点
E
，
G
.
下列结论：①
AGD
112
.
5
；②
0
D
O
F
B
C
A
D
2
；③
S
AGD
S
OGD
；④四边形
< br>AEFG
是菱形；⑤
BE
2
OG
.
AE<
/p>
其中，正确结论的序号是
______________
．
（重庆市中考试题）
解题思路
：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．
【例
2
】<
/p>
如图
1
，操作：把正方形
CGEF
的对角线
CE
放在正
方形
ABCD
的边
BC
的延长线上
(
CG
BC
)
，取线段
AE
的中点
M
.<
/p>
连
MD
，
MF<
/p>
．
（
1
）探究
线段
MD
，
MF
的关系，并加以证明．
（
2
）将正
方形
CGEF
绕点
C
< br>旋转任意角后（如图
2
）
，其他
条件不变．
探究线段
MD
，
MF
的关系，并加以证明．
（大连市中考题改编）
解题思路
：由
M
为
AE
中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
A
D
M
F
A
D
F
B
C<
/p>
E
B
C
M
E
G
图
2
G
图
1
【例
3<
/p>
】
如图，正方形
ABCD
中，
E
，
F
< br>是
AB
，
BC
< br>边上两点，且
EF
AE
FC
，
DG
EF
于
G
，求证：
DG
DA<
/p>
.
（重庆市竞赛试题）
解题思
路
：构造
AE
FC
的线段是解本例的关键．
A
D
E
G
【例
4
】
如图，正方形
ABCD
被两条与边平行
的线段
EF
、
GH
分割成四个小矩形，
P
是
EF
与
GH
的交点，若矩形
PFCH
的面积恰是矩形
AGPE
面积的
2
倍，试确定
HAF
的大小，并证明你的
结论．
（北京市竞赛试题）
解题思
路：
先猜测
HAF
< br>的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的
关系．
B
F
C
A
G
E
P
D
H
F
【例
5
】
<
/p>
如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
F
分别是边
BC
，
CD
上的点，满
足
EF
BE
DF
，
B
C
AE
,
AF
分别与对角线
BD
交于点
M
,
N
．
< br>
求证：
（
1
）
EAF
45
；
（
2
）
MN
BM
DN
．
（四川省竞赛试题）
解题思路
：对于（
1
）
，可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（
< br>2
）
，很容易
联想到直角三角形
三边关系．
2
2
2
0
A
N
D
F
M
B
E<
/p>
C
【例
6<
/p>
】
已知
：正方
形
ABCD
中，
MAN
45
，
< br>
MAN
绕点
A
顺时针旋转，它的两边分别交
0
CB
< br>，
DC
（或它们的延长线）于点
M
,
N
．
当
MAN
绕点
A
旋转到
BM
DN
时（如图
< br>1
）
，易证
BM
DN
MN
．
（
1
）当
MAN
绕点
A
旋转到
BM
DN
时（如图
2
）
，线段
BM
,
DN
和
MN
之间有怎样的数量
< br>关系？写出猜想，并加以证明；
（
2
）当
MAN
< br>绕点
A
旋转到如图
3
的位置时，线段
BM
,
D
N
和
MN
之间又有怎样的数量关系？<
/p>
请直接写出你的猜想．
（黑龙江省中考试题）
解题思路
：对于（
2
）
，构造
< br>DN
BM
是解题的关键．
A
D
M
A
D
N
B
C
A
D
N
< br>B
M
图
1
C
B
M
C
N
能力训练
图
2
图
3
A
级
1.
如图，若四边形
ABCD
是正方形，
CDE
是等边三角形，则
EAB
的度数为<
/p>
__________
.
（北京市竞赛试题）
2.
四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，给出以下题设条件：
①
AB
BC
CD
DA
；
②
AO
<
/p>
BO
CO
<
/p>
DO
,
AC
<
/p>
BD
；
③
AO
CO
,
BO
DO
,
AC
BD
；
④
AB
BC
,
CD
DA
．
其中，能判
定它是正方形的题设条件是
______________.
（把你认为正确的序号都填在横线上）
（浙江省中考试题）
3
．如图
，边长为
1
的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕
顶点
A
顺时针旋转
30
，
则这两个正方形重叠部分的面积是
________
__.
（青岛市中考试题）
0
A
D
D
A
< br>P
D
E
A
A
C
D
B
P
C
B
C
B
C
第
1
题图
第
3
题图
第
4
题图
4.
如图，
P
是正方形
ABCD
内一点，将
ABP
绕点
B
顺时针方向旋转至能与
CBP
重合，若
'
PB
3
，则
PP
'
=__________.
（河南省中考试题）
5.<
/p>
将
n
个边长都为
1
cm
的正方形按如图所示摆放，点
A
1
,
A
2
,
A
n
分别是正方形的中心，则
n
个正
方形重叠形成的重叠部分的面积和为
(
)
A .
1
2
n
n
1
2
1
cm
B
．
cm
2
C.
cm
D.
(
)
n
cm
2
4
4
4
4
（晋江市中考试题）
B
C
A
2
< br>A
1
A
3
A
4
A
5
A
O
F
E
第
5
题图
第
6
题图