正方形中的45角
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第
8
讲
正方形中的
45
°
角
正方形中的
45
°角问题，由于其所蕴含的变换思想，多个重要的结论和丰富的思维空
间，历来被命题者所青睐。
性质
1
<
/p>
正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
上的点，
且∠
EAF=45
°，
则<
/p>
BE+DF=EF
。
证明：
D
A
F
F
′
C
E
B
逆命题
正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
的点，且
BE+DF=EF
，则∠
EAF=45
°，
< br>根据全等三角形的性质，如果过点
A
作
< br>AG
⊥
EF
于点
G
，则有
AG=AB
。于是有
：
推论
1
正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
的点，若∠
EAF=45
°，则点
A
到
EF
的距离等于正方形的边长。
推论
2
正
方形
ABCD
中，
E
< br>、
F
分别是
BC
、
CD
的点，若∠
EAF=4
5
°，则△
CEF
的
< br>周长是正方形边长的两倍。
性质
2
正
方形
ABCD
中，
E
< br>、
F
分别是
BC
、
CD
的点，若∠
EAF=4
5
°，则
S
正方形
ABCD
︰
S
< br>AEF
2
AB
︰
EF
A
D
证明：
F
G
C
E
B
性质
3
如
图，
线段
EF
与
GH
把正方形
ABCD
分割成四个小
矩形，
EF
与
GH
交于点
P
，
若矩形
PFCH
的面积是矩形
AGPE
面积的
2
倍，则∠
HAF=45
°。
证明：
E
D
A
G
H
P
C
B
F
例
1
、梯形
ABCD
中如图所示，
AD
∥
BC
，∠
D=Rt
∠，
BC=CD=12
< br>，∠
ABE=45
°，点
E
在
DC
上，
AE<
/p>
、
BC
的延长线相交于点
F
，若
AE=10
，求
S
ADE
S
CEF
的值。<
/p>
F
E
D
C
A
B
例
2
、在△
ABC
中，∠
BAC
=45
°，
AD
⊥
BC
于
D
点，已知
BD=6
，
CD=4
，求
S
ABC
A
D
B
C