(完整版)多次相遇和追及问题
-
3-1-3
多次相遇和追及问题
教学目标
1.
学会画图解行程题
2.
能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3.
能够利用比例解多人相遇和追及问题
知识精讲
板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕
“
路程
速度
时间
”
这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复
杂
，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例
1
】
（难度等级
※）甲、乙两名同学在<
/p>
周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同
时背向练习跑步，甲每
秒钟跑
3.5
米
，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才
能回到出发点？
【解析】
从
开始到两人第十次相遇的这段时间内，
甲、<
/p>
乙两人共跑的路程是操场周长的
10
倍，
为
300
1
0
3000
米，因为甲的速度为每秒
钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，所以这段时间内甲共行了
3000
3.5
1400
< br>米
，
也
就
是甲
最后
一次离
开
< br>出发
点继
续
行了
200
米
，可
知甲
还
需行
3.5
4
300
200
100
米才能回到出发点．
【巩固】
（难度等级
※）甲乙两人在相距
90
米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是
每秒
2
米．如果他们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内
共相遇几次？
【解析】
1
7
一共六百秒，第一次相遇是两人
总共跑一个
90
米，以后是
180
米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇
是
18
秒。
180
米相遇需要
36
秒。此后是
582
秒总共有
16
次。所以相遇
17
次。
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
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【解析】
【巩固】
（难度等级
※）甲、乙两人从
400
米的环形跑道上一点
A
背向同时出发，
8
分钟后两人第五次
< br>相遇，已知每秒钟甲比乙多走
0.1
米，那么两人第五次
相遇的地点与点
A
沿跑道上的最短路程
是多少米
?
【解析】
1
76
甲乙每分钟速度和
:400
×
5
÷
8=250
米
每分钟
,
甲比乙多
:0.1
< br>×
60=6
米
甲每分钟
:(250+6)
÷
2=128
米
128
×
8
÷
400=2...22
4
相遇点与
A
最短路程为
400-224=176
米
【解析】
二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例
2
】
（难度等级
※※）
< br>上午
8
点
8
分，
小明骑自行车从家里出发，
8
分钟后，
爸爸骑摩托车去追他，
在离家
4
千米的地方追上了他
.
然后爸爸立即
回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的
时候，离家恰好是
8
千米，这时是几点几分？
【解析】
画
一张简单的示意图：
图上可以看出，
从爸爸第一次追上到
第二次追上，
小明走了
8-4
＝
4
（千米）
.
而爸爸
骑的距离是
4
＋
8
＝
12
（千米）
.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
12÷
4
＝
3
（倍）
.
按照这个倍数计算，小
明骑
8
千米，爸爸可以骑行
8×
3
＝
24
（千米）
.
但事实上，爸爸少用了
8<
/p>
分钟，骑行了
4
＋
12
＝
16
（千米）
.
少骑行
24-16
＝
8
（千米）
.
摩托
车的速度是
8÷
8=1
（千米
/
分）
，爸爸骑行
16
千米需要
16
分钟
.
8
＋
8
＋
16
＝
32.
所以这时是
8
点
32
分。
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
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【例
3
】
（难度等级
※※）甲、乙两车分别同
时从
A
、
B
两
地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相
遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
B
地
25
千米
处相遇．求
A
、
B
两地
间的距离是多少千米？
【解析】
画
线段示意图
(
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路
线
)
：
<
/p>
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A
、
B
两地间距离，
第二次相遇意味着
两车共行了三个
A
、
B
两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A
、
B
两地间的距离时，甲车行了
95
千米，当它
们共行三个
A
、
B
两地间的距离时，甲车就行了
3
个
95
千米，即
9
5×
3=285
（千米），而这
285
千米比一个
A
、
B
两地间的距离多
25
千米，可得：
95×
3-25=285-25=260(
千米
)
．
【巩固】
（难度级别
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
3
千
米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
< br>×
3=12
千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多
了回来那一段，就是距
B
地的
3
千米，所
以全程是
12-3=9
千米，所以两次相遇点相距
9-
（
< br>3+4
）
=2
千米。
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
5
千
米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
6
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
4
千
米处第二次相遇，求两人第
5
次相遇地点距
B
多远
.
【解析】
1
2
千米
3-1
-3.
多次相遇与追及问题
.
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【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
3
千
米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米
< br>.
【解析】
9
0
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
3
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
2
千
米处第二次相遇，求第
2000
次相遇地点与第
2001
次相遇地点之间的距离<
/p>
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇后二人继续前进，走到对
方出发点后立即返回，在距
B
地
13<
/p>
千米处第二次相遇，求
AB
两地之间的距
离
.
【解析】
4
1
千米
【例
4
】
（难度等级
※※※）
如图，
甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反
的方向绕此圆形路线运动，当乙走了
100
米
以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60
米处又
第二次相遇
.
求此圆形场地的周长．
【解析】
注
意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
共走完
1+<
/p>
1
圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙
2
1
3
＝
圈
的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为
1
：
3
，因而第二次相
2
2
遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的
3
倍，即
100×
3=300
米．有甲、乙第二次相
遇时，共行走
(1
圈－
60)+300
，为
【巩固】
（难度等级
※※※）如图，
A
、
B
是圆的直径的两
端，小张在
A
点，小王在
B
点同时出发反向
行走，他们在
C
< br>点第一次相遇，
C
离
A
点
80
米；在
D
点第二次相遇，
D
点离
B
点
6O
米
.
求这
3-1-3.
多次相遇与追及问
题
.
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3
圈，
所以此圆形场地的周长为
480
米．
2
个圆的周长
.
【解析】
3
60
【巩固】
A
、
B
是圆的
直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C
点第一次相遇
，
在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有
75
米，
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长
是多少米？
【解析】
3
40
三、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
< br>
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………
，
………………
；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，剩
下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇
，共走
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………
，
………………
；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
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多人相遇追及的解题关键
路程差
【例
5
】
小明和小红两人在长
100
米的直线跑
道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为
6
米
/
秒，小红
的速度为
4
米
/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12
分钟．在这段时间内，他们迎面相
遇了多少次？
【解析】
第
一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：
100
（
6
4
）
10
(
秒
)
．
此后，两人每相遇
一次，就要合跑
2
倍
的跑道长，也就是每
20
秒相遇一次，除去第一次的
10
秒，两人共跑了
12
60
10
710
(
秒
)
．求出
710
秒内两人相遇的次数再
加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列
式计算为：
100
（
6
4
）
10
(
秒
)
，
（
12
60
10
）
< br>（
10
2
）
35
L
10
，共相遇
35
1
36
(
< br>次
)
。注：
解
< br>决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【例
6
】
A
、<
/p>
B
两地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑摩托车从
B
地出发，不停地往返于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，
80
分钟后两人第一次相遇，
100
分钟后乙第
一次追上甲，问：
当甲到达
B
地时，乙
追上甲几次？
【解析】
甲
A
F
E
B
乙
第一次相遇
第一次追上
由上图容易看出：
在第一次相遇与第一次追上之间，
乙在
100
80
20
(
分钟
)
内所
走的路程恰等于
线段
FA
的长度再加上
线段
AE
的长度，即等于甲在
(
80
100
)
分钟内所走的路程，因此，乙的速
度是甲的
9
倍
(
18
0
20
)
，
则
BF
的长为
AF
的
9
倍，
所以，
甲从
A
到
B
，
共需走
80
(1
9)
800
(
分
钟
)
乙第一次追上甲时，所用的时间为
100
分钟，且与甲的路程差为一个
AB
< br>全程．从第一次追上
甲时开始，
乙每次追上甲的路程差就
是两个
AB
全程，
因此，
追及时间也变为
200
分钟
(
100
2
)
，
所以，在甲从
< br>A
到
B
的
800
分钟内，乙共有
4
次追上甲，
即在第
100
分钟，
300
分钟，
500
分钟
和
700
分钟．
3-1-3.
多次相遇与追及问题<
/p>
.
题库
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【例
7
】
（难度等级
※※※）甲、乙两人分别
从
A
、
B
两地
同时出发相向而行，乙的速度是甲的
2
，二
3
人相遇后继续行进，甲到
B
地、
乙到
A
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相<
/p>
遇的地点是
100
千米，那么，
A
、
B
两地相距
千米．
【解析】
由
于甲、乙的速度比是
2
:
3
，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是
2
:
3
．第一次相遇
时，两人共走了一
个
AB
的长，所以可以把
AB
的长看作
5
份，甲、乙分别走了
2
份和
3
份；第
二次相遇时，
甲、
乙共走了三个
AB
，
乙走了
2
< br>
3
6
份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个
AB
，
乙走了
2
5
10
份．
乙第二次和第三次相距
10
－
6=4
（份）
所以一份距离为：
100
÷
4=25
（千米）
，
那么
A
、
B
< br>两地距离为：
5×
25
＝
125
（千米）
【巩固】
（难度等级
※※※）小王、小李二人
往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，
相向而行，
两人第一次在距甲地
3
千米处相遇，
第二次在距甲地
6
千米处相遇
(
追上也算作相遇
)
，
则甲、乙两地的距离为
千米．
【解析】
由
于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以
两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①
如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在
A
处相遇，第二次在
B
处相遇．由于
第一次相遇时两人合走
1
个全程，小王走了
3
千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走
2
个
全程，所以这期间小王走了
3
2
6
千米，由于
A
、
B
之间的距离也是
3
千米，所以
B
与乙地的
距离为
(6
3)
2<
/p>
1.5
千米，甲、乙两地的距离为
6
1.5
7.5
千米；
王
甲
A
B
李
乙
王
甲
A
B
李
乙
②
如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在
A
处相遇，相遇后小王继续向前走，小李
走到甲地后返回，<
/p>
在
B
处追上小王．
在这个过程中，
小王走了
6
3
3
千米，
小李走了
6
3
9
千
3-1-3
.
多次相遇与追及问题
.
题库
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米，
两人的速度比为
3:9
1:3
．所以第一次相遇时小李也走了
9
千米，甲、
乙两地的距离为
9
3
12
千米．
所以甲、乙两地的距离为
7.5
千米或
12
千米．
【巩固】
（难度级别
※※※）
A
，
B
两地相距
540
千米。甲、乙两车往返行驶于
A
，
B
两地之间，都是
到达一
地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从
A
地出发后第
一次和第二次相遇都在
途中
P
地。那么
到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
【解析】
第
一次相遇，甲乙总共走了
2
个全程，第二次相遇，甲乙总共走了
4
个全程，乙比甲快，相遇又
在
P
点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙
从第一个
P
点到第二个
P
点，
路程正好是第一次的路程。
所以假设一个全程为
3
份，
第一次相遇甲走了
2
份乙走了
4
份。
第二次相遇，
乙正好走了
1
份到
B
地，
又返回走了
1
份。
这样根据总结：
2
个全程里乙走了
（
540÷
3
）
×
4=180×
4=720
千米，乙总共走了
720×
3=2160
千米。
【例
8
】
（难度级别
※※※）小张与小王分别
从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一
村后就马上返回）
，
他们在离甲村
3.5
千米
处第一次相遇，
在离乙村
2
千米处第二
次相遇
.
问他们
两人第四次相遇的地点
离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【解析】
画
示意图如下
.
第二次
相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的
3
倍，因此张走了
3.5×
3
＝
10.5
（千
米）
.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村
2
千米
.
因此，甲、乙两村距离是
10.5-2
＝
8.5
（千米）
.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、
乙两村距离
2
倍的路程
.
第四次相遇时，两人已共同走了两村距
离（
3
＋
2
＋
2
）倍的行程
.
其中张走了
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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19
3.5×
7
＝
24.5
（千米）
，
24.5=8.5
＋
8.5
＋
7.5
（千米）
.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1
（千米）
.
答：第四次相遇地点离乙村
1
千米
.
四、解多
次相遇问题的工具
——
柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求
数交点个数即可完成。折线示意图往
往能够清晰的体现运动过程中
“
相遇的次数
”
，
“
相遇的地点
”
，以及
“
由
相遇的地点求出全程
”
，使用折线示意图法一般需要我
们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我
这样的一般人儿来说不容易。
【例
9
】
（难度级别
※※※）
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，
且每天同一时刻也有一艘轮船从纽
约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途<
/p>
中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】
这
就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡
·
斯图姆给出
的一个非常直观巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈
佛，另一条直线表示纽约．那么，
从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇
来表示．图中的每条线段分别表示每条船
的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上
的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮
船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的
15
艘
轮船相遇（图中用虚线表示）<
/p>
．而且在这相遇的
15
艘船中，有
1
艘是在出发时遇到（从纽约刚到
3-1-3
.
多次相遇与追及问题
.
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教师版
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