多次相遇和追及问题说课讲解
-
多
次
相
遇
< br>和
追
及
问
题
精品资料
3-1-3
多次相遇和追及问题
教学目标
1.
学会画图解行程题
2.
能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3.
能够利用比例解多人相遇和追及问题
知识精讲
板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕
“
路程
速度
时间
”
这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问
题虽然较复杂
，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例
1
】
（难度等级
※
）甲、乙两名同学在
周长为
300
米
圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，
甲每秒钟跑
3.5<
/p>
米，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相
遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【解析】
从
开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的
10
倍，为
300
10<
/p>
3000
米，因为甲的速度为每秒钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，所以这段时间内甲
共行了
3000
3.5
140
0
米
，也就是甲最后一次离开出发点继续行了
< br>200
米，可知甲
3.5
4
还需行
300
200
100
米才能回到出发点．
【巩固】
（难度等级
※
）甲乙两人在相距
90
米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是每秒
2
米．如果他们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内
共相遇几
次？
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0
精品资料
【解析】
1
7
一共六百秒，第一次相遇是两人
总共跑一个
90
米，以后是
180
米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇
是
18
秒。
180
米相遇需要
36
秒。此后是
582
秒总共有
16
次。所以相遇
17
次。
【解析】
【巩固】
（难度等级
※
）甲、乙两人从
400
米的环形跑道上一点
< br>A
背向同时出发，
8
分
钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走
0.1
米，那么两人第五次相遇的地点
与点
A
沿跑道上的最短路程是多少米
?
【解析】
1
76
甲乙每分钟速度和
:400
×
5
÷
8=250
米
每分钟
,
甲比乙多
:0.1
< br>×
60=6
米
甲每分钟
:(250+6)
÷
2=128
米
128
×
8
÷
400=2...22
4
相遇点与
A
最短路程为
400-224=176
米
【解析】
二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例
2
】
（难度等级
※※）上午
8
点
8
分，小明骑自行车从
家里出发，
8
分钟后，爸爸骑摩托车去追
他，在离家
4
千米的地方追上了他
.
然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上
小明的
时候，离家恰好是
8
千米，这时是几点几分？
< br>
【解析】
画
一张简单的示意图：
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1
精品资料
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4
＝
4
（千米）
.
而爸爸
骑的距离是
4
＋
8
＝
12
（千米）
.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
12÷
4
＝
3
（倍）
.
按照这个倍
数计算，小明骑
8
千米，爸爸可以骑行
8×
3
＝
24
（千米）
.
但事实上，爸爸少用了
8
分
钟，骑行了
4
＋
12
< br>＝
16
（千米）
.
少骑行
24-16
＝
8<
/p>
（千米）
.
摩托车的速度是
8÷
8=1
（千米
/
分），爸爸骑行
16
千米需
< br>要
16
分钟
.
8
＋
8
＋
16
＝
32.
所以这时是
8
点
32
分。
【例
3
】
（难度等级
※※）甲、乙两车分别同
时从
A
、
B
两
地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相
遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
B
地
25
千米
处相遇．求
A
、
B
两
地间的距离是多少千米？
【解析】
画
线段示意图
(
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路
线
)
：
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2
精品资料
可以发现第一次相遇意味着
两车行了一个
A
、
B
< br>两地间距离，第二次相遇意味着两
车共行了三个
A
、
B
两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A
、
B
两地间
的距离
时，甲车行了
95
千米，当它们
共行三个
A
、
B
两地间的距离时，甲车就行了
3
个
9
5
千米，即
95×
3=285
（千米），而这
285
千米比一个
A
、
B
两地间的距离多
25
千
米，可得：
95×
3-25=285-25=260(
千米
)
．
【巩固】
（难度级别
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后
二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
3
千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距
离
.
【解析】
4
×
3=12
千米，通过画图，我
们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距
B
地的
3
千米，所
以全程是
1
2-3=9
千米，所以两次相遇点相距
9-
（
3+4
）
=2
< br>千米。
【巩固】
（难度等级
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后
二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
5
千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距
离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
6
千米，相遇后
二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
4
千米处第二次相遇，求两人第
5
次相遇地点距
B
多远
.
【解析】
1
2
千米
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3
精品资料
【巩固】
（难度等级
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后
二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
3
千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多
少千米
.
【解析】
9
0
千米
【巩固】
（难度等级
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
3
千米，相遇后
二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
2
千米处第二次相遇，求第
2000
次相遇地点与第
2001
次相
遇地点之间的距离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※
）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向
而行，他们第一次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇
后二人继续前进，走到对方出发
点后立即返回，在距
B
地
13
千米处第二次相遇，求
< br>AB
两地之间的距离
.
【解析】
4
1
千米
【例
4
】
（难度等级
※※※）如图，甲和乙两
人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相
反的方向绕此圆形路线运动，当乙
走了
100
米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60
米
处又第二次相遇
.
求此圆形场地的周长．
【解析】
注
意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
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4
1
圈
的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲
2
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乙共走完
1+
1
3
＝
圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需
的时间比为
1
：
3
，因而第二次
2
2
相遇时乙行走的
总路程为第一次相遇时行走的总路程的
3
倍，即
100×
3=300
米．有甲、乙第二
次相遇时，共行走
(1
圈－
6
0)+300
，为
3
圈，所以此圆形场
地的周长为
480
米．
2
【巩固】
（难度等级
※※※
< br>）如图，
A
、
B
是圆的直径的两端，小张在
A
点，小王在
B
点同时出发反向行走，他们在
C
< br>点第一次相遇，
C
离
A
点
80
米；在
D
点第二次相
遇，
D
点
离
B
点
6O
米
.
求这个圆的周长
.
【解析】
3
60
【巩固】
A
、
B
是圆的
直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C
点第一次相遇
，在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有
75
米，
D
离
B
有
55
米，求这
个圆的周长
是多少米？
【解析】
3
40
三、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：第
1
次相遇，共走
1
个全程；
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5
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第
2
次相遇，共走
3
个全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………
，
………………
；
第
N<
/p>
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，
剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每
次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2<
/p>
次相遇，共走
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；<
/p>
…………
，
………………
；
第
N<
/p>
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
多人相遇追及的解题关键
路程差
【例
5
】
小明和小红两人在长
100
米的直线跑
道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为
6
米
/
秒，小红的速度为
4
米
/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12
分钟．在这
段时间内，他们迎面相遇了多少次？
【解析】
第
一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：
100
（
6
< br>4
）
10
(
秒
)
．此后，
< br>两人每相遇一次，就要合跑
2
倍的跑道长，也就是每
20
秒相遇一次，除去第一次的
10
秒，两人共跑了
12
60
10
710
(
秒
)
．求出
710
秒内两人相遇的次数再加上第一次
相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：
100
<
/p>
（
6
4
）
10
(
秒
)
，
（
12
60
10
）
（
10
2
）
< br>
35
10
，共相遇
35
1
36
(
次
)
。注：
解决问题的关键是弄清他们
首次相遇以及以后每
次相遇两人合跑的路程长．
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6
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【例
6
】
A
、
B
两地间
有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B<
/p>
地，乙骑摩托车从
B
地出发，不
停地往返于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，
80
分钟后两人
第一次相遇，
100
分钟
后乙第一次追
上甲，问：当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？
< br>
【解析】
甲
A
F
E
B
乙
第一次相遇
第一次追上
由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在
100
80
20
(
分钟
)
内所走的
路程恰等于线段
FA
< br>的长度再加上线段
AE
的长度，即等于甲在
(
80
100
)
分钟内所走
的路程，因此，乙的速度是甲的
9
倍
(
180
20
)
，则
BF
的长为
AF
的
9
倍，所以，甲
从
A
到
B
，共需走
80
(1
< br>
9)
800
(
分钟
)
乙第一次追上甲时，
所用的时间为
100
分钟，
且与甲的路
程差为一个
AB
全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的
路程差就
是两个
AB
全程，因此，追及
时间也变为
200
分钟
(
100
2
)
，所以，在甲从
A
到
B
的
800
分钟内
，乙共有
4
次追上甲，即在第
100<
/p>
分钟，
300
分钟，
500
分钟和
700
分
钟．
【例
7
】
（难度等级
※※※）甲、乙两人分别
从
A
、
B
两地
同时出发相向而行，乙的速度是甲的
2
，
3
二人相遇后继续行进，甲到
B
地、
乙到
A
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次
相遇的地点是
100
千米，那么，
A
、
B
两地相距
千米．
【解析】
由
于甲、乙的速度比是
2
:
3
，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是
2
:
3
．第一次相遇时，两人共走了一个
AB
的长，所以可以把
AB
的长看作
5
份，
甲、乙分别走了
2
份和
3
份；第二次相遇时，
甲、乙共走了三个
AB
，乙走了
2
3
6
份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个
AB
，乙
走了
2
5
10
份．
乙
第二次和第三次
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7
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相距
10
－
6=4
（份）所以一份距离为
：
100÷
4=25
（千米），那么<
/p>
A
、
B
两地距离
为：
5×
25
＝
125
（千米）
【巩固】
（难度等级
※※※
< br>）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李
从乙地同时出发，相向而
行，两人第一次在距甲地
3
千米处相遇，第二次在距甲地
6
千米处相遇
(
追上
也算作相遇
)
，则甲、乙两地的距离为
千米．
【解析】
由
于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所
以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①
如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在
A
处相遇，第二次在
B
处相遇．由于第一次相
遇时两人合走
1
个全程，小王走了
3<
/p>
千米；从第一次相遇到
第二次相遇，两人合走
2
个全程，所以这期间小王走了
3
2
6
千米
，由于
A
、
B
之
间的距离也是
3
千米，所以
B
与乙地的距离为
(6
3)
2
1.5
千米，甲、乙两地的距
离为
6
1.5
7.5
千米；
王
甲
A
B
李
乙
王
甲
A
B
李
乙
②
如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在
A
处相遇，相遇后小王继续
向前走，小李走到甲地后返回，在
B
处追上小王．在这个过程中，小王走了
6
3
3
千米，小李走了
6
< br>3
9
千米，两人的速度比为<
/p>
3:9
1:3
．所以第一次相遇
时小李也走了
9
千米
，甲、乙两地的距离为
9
3
12
千米．
所以甲、乙两地的距离为
7.5
千米或
12
千米．
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8
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【巩固】
（难度级别
※※※
< br>）
A
，
B
两地相距
540
千米。甲、乙两车往返行驶于
A
，
B
两地之间，都是到达一
地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从
A
地出发
后第一次和第二次相遇都在途中
P
地。那么
到两车第三次相遇为止，乙车共走了多
少千米？
【解析】
第
一次相遇，甲乙总共走了
2
个全程，
第二次相遇，甲乙总共走了
4
个全程，乙比甲快，相遇
又在
P
点，所以可以根据总结和画图推出：从第
一次相遇到第二次相遇，乙从第一个
P
点到第
< br>二个
P
点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程
为
3
份，第一次相遇甲走了
2
份乙走
了
4
份。第二次
相遇，乙正好走了
1
份到
B
地，又返回走了
1
份。这样根据总结：
2
个全程里乙
走了（
54
0÷
3
）
×
4
=180×
4=720
千米，乙总共走了
720×
3=2160
千米。
【例
8
】
（难度级别
※※※）小张与小王分别
从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另
一村后就马上返回），他们在离甲
村
3.5
千米处第一次相遇，在离乙村
2
千米处第二次相遇
.
问
他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【解析】
画
示意图如下
.
第二次
相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的
3
倍，因此张走了
3.5×
3
＝
10.5
（千
米）
.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村
2
千米
.
因此，甲、乙两村距离是
10.5-2
＝
8.5
（千米）
.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离
2
倍的路程
.
第四次相遇
时，两人已
共同走了两村距离（
3
＋<
/p>
2
＋
2
）倍的行
程
.
其中张走了
3.5×
7
＝
24.5
（千米），
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9