等差数列知识点汇总
-
专题二
等差数列巩固
——等
差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要
站好这
块地盘
一、明确复习目标
1
．理解等差数列的概念和性质；
<
/p>
2
．掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式，并能用公式解决简单问题
二．建构知识网络
•
1
．定义：
a
n
1
a
< br>n
d
(
常数
)
(
n
N
)
2<
/p>
．通项公式：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
，推广：
a
n<
/p>
a
m
(
n
m
)
d
d
=
a
n
a
1
a
a
m
，
d<
/p>
=
n
是点列（
n
，
a
n
）所在
直线的斜率
.
n
< br>1
n
m
3
．前
n
项的和：
< br>S
n
变式：
< br>n
(
a
1
a
n
)
d
d
n
(
n
1
)
na
1
d
n
2
(
a
1
)
n
2
2
2
2
a
1<
/p>
a
n
S
n
=
2
n
4
．等差中项：若
a<
/p>
、
b
、
c
等差数列，则
b
为
a
与
c
的等差中项
:2
b=a+c
5
．性质
:
设
{a
n
}
是等差数列，公差为
d
,
则
(1)
m+n=p+q
,
则
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
(2)
a
n
,
a
n
+m
,
a
n+2
m
……
组成公差为
md
的等差数列
.
(3)
S
n
, S
2n
-S
n
, S
3n
< br>-S
2n
……
组成公差为
n
2
d
的等差数列<
/p>
.
(4)
当
n
=2k-1
为奇数时，
S
n
=na
k
；
S
奇
=ka
k
，
S
偶
=(k-1)a
k<
/p>
(a
k
=a
中
)
6
．等
差数列的判定方法
(n
∈
N*)
(1)
定义法
: a
< br>n+1
-a
n
=d
是常数
(2)
等差中项法
:
2
a
n
1
a
n
a
n
2
2
(3)
通项法
:
a
n
a
1
(
n
1
)
d
< br>
(4)
前
n
项和法
< br>:
S
n
An
Bn
7
．
a
1
,
d
,
n
,
a
n
,
S
n
知三求二
,
可考虑
统一转化为两个基本量
;
或利用数列性质
,
三数
:
a
d
,
a
,
a
d
,
四数
a<
/p>
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
8.
会从函数角度理解和处理数列问题
< br>.
三、双基题目练练手
1.
（
2006
全国Ⅱ）设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
s
3
1
s
，则
6
( )
s
6
3
s
12
（
A
）
3
1
1
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
10
3
8
9
2. (2006
广东
)
< br>已知等差数列共有
10
项，其中奇数项之和
15
，偶数项之和为
30
，
则其公差是
(
)
A
5
B
4
C
3
D
2
3.
等
差数列
{
a
n
}
中，
a
10
＜
0
，
a
11
＞
0
且
a
11
＞
|
a
10
|
，
S
n
为其前
n
项和，则<
/p>
(
)
A.
S
10
小于
0
，
S
11
大于
0
B.
S
19
小于
0
，
S
2
0
大于
0
C.
S
5
小
于
0
，
S
6<
/p>
大于
0
D.
S
20
小于
0
，
S
21
大于
0
4.(2006
天津
)
已知数列
{
a
n
}
、
{
b
< br>n
}
都是公差为
1
的等差数列，其首项分别为
a
1
、
b
1
，且
a
1
b
1
5
，
a
1
、
b
1
N
*
．设
c
n
a
b
n
（
n
N
*
）
，则数列
{
c
n
}
的前
10
项和等于
A
．
55
B
．
70
C
．
85
D
．
100
（
）
5.<
/p>
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
记为
S
n
，若
a
2
+
a
4<
/p>
+
a
15
=p<
/p>
是一常数，则
S
13
=
6.
在等差数列
a
n
中
,<
/p>
已知
a
4
9,
a
9
6,
S
n
63
,
则
n=
.
简答
:;
3.
a
11
＞
|
a
10
|
=
－
a
10
，
∴
a
10
+
a
11
=a
1
+
a
20
＞
0.
∴
S
20
=1
0
（
a
1
+<
/p>
a
20
）＞
0.
选
B
4.
a
b
n
a
1
(
b
n
1)
a
1
b
1
(
n
1)
1
n
3
,
S
10
5
(4
13)
85
5.
a
2
+
a
4
+
a
15
=
p
（常数）
，∴
3
a
1
+18
d
=
p
，即
a
7
=
∴
S
13
=
1
p
. <
/p>
3
13
(
a
1
a
13
)
13
=13
a
7
=
p
.
2
3
6.
设首项为
a
1
,
公差为
d
,
则
9
a
1
3
d
a
1
18
得
6
a
1
8
d
d
3
3
63
S
n
18
n
< br>n
(
n
1
)
得
:
n
6
或
n
7
2
四、经典例题做一做
【例
1
】
(1)
若一个等差数列前
3
项和为
34,
后
3
项和为
< br>146,
且所有项的和为
390,
求这个数列项数
.
(2)
等差
数列
a
n
的前
10
项
的和
S
10
100
,
前
100
项的
和
S
100
10
,
求前
110
项的<
/p>
和
S
110
.<
/p>
解
(1)
Q<
/p>
a
1
a
2
a
3
34,
又
a
n
a
n
1
a
n
2
146
Q
a
1
a
n
<
/p>
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
n
(
a
1
a
n
)
<
/p>
390
,
得
n<
/p>
13
2
(2)
分析一
:
方
程的思想
,
将题目条件应用公式表示成关于首项
a
1
与公差
d
的两个方程
.
11
1
d
10
a
10
9
d
100
1
50
2
解得
:
解法一
:
设
a
n
的首项为
a
1
,
公差
d
,
则
1
1099
100
a
100
99
d
10
a
1
1
100
2
1
S
110
110
a
1
110
109
d
110
2
2
分析二
:
运
用前
n
项和变式
:
< br>S
n
An
Bn
两式相加得
:
3(
a
1
a
n
)
180,
a
1
< br>
a
n
60
,
由
S
n
2
解法二
:
a
n
为等差数列
,
故可设
< br>S
n
An
Bn
,
100
A
10
< br>B
100
则
< br>
解得
110
A
B
1
10000
A
100
B
10
S
< br>110
110
2
A
110
B
110
(
110
A
B
)
110
解法三：
S
100
S
10
S
110
(
a
11
a
100
)
90
90
a
11
a
100
2
2
110
(
a
1
a
< br>110
)
(
a
< br>11
a
100
)
110
110
2
2
方法提炼
:
本题是等差数列的基本计算
,
要求熟练准确
.
题
(1)
利用了等差数列的性质和前
S
n
公式的特点
;
题
(2)<
/p>
法一
:
转化为两个基本量
,
是重要的方法
;
法二利用了
前
n
项和公式的函数式特征
.
【例
2
】数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
=
npa
n
（
n
∈
N
*
）且
a
1
≠
a
2
，
< br>（
1
）求常数
p
的值；
（
2
）证明：数列
{
a
n
}
是等差数列
.
分析
：
（
1
）注意讨论
p
的所有可能值
.
S
1
n
1
,
（
2
）运用公式
a
n
=
求
a
n
. <
/p>
S
S
n
2
.
n
1
n
解：
（
1
）当
n
=1
时，
a
1
=
pa
1
< br>，若
p
=1
时，
a
1
+
a
2
=2
pa
2
=2
a
2
，
∴
a
1
=
a
2
，与已知矛盾，故
p
≠
1.
则
< br>a
1
=0.
当
n
=2
时，
a
1
+
a
2
=2
pa
2
，∴（
2
p
－
1
）
a
2
=0.
1
.
2
1<
/p>
（
2
）由已知
S
n
=
na
n<
/p>
，
a
1
=0.
2
1
1
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n
－
S
n
－
1
=
na
n
< br>－
（
n
－
1
）
a
n
－
1
.
2
2<
/p>
∵
a
1
≠
a
2
，故
p
=
∴
a
n
a
a
n
< br>1
n
2
2
=
.
则
n
1
=
，…，
3
=
.(
n<
/p>
≥
3)
a
n<
/p>
1
n
2
a
n
2
n
3
a
2
1
a
n
=
n
－
1.
∴
a
n
=
（
n
－
1
）
a
2
，
a
n
－
a
n
－
< br>1
=
a
2
. (
n
≥
3)
< br>a
2
∴
又
a
2
-
a
1
=
a
2
,
所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数
.
< br>故
{
a
n
}
是以
a
2
为公差，以
a
1
为首项的等差数列
.
提
炼
拓
展
:
证
明
等
差
数
列
的
方
法
:1.
由
定
义
a
< br>n
-a
n-1
=d,
2.
等
差<
/p>
中
项
,3.
通<
/p>
项
公
式
a
n
=pn+q,4.S
n
=Pn
2
=qn
例
3
．
已知两个等差数列
5
，
8
，
11
，…和
< br>3
，
7
，
11
…都有
100
项，问它们有多少
相同的项？并求
出所相同项的和。
分
析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差
的最小公倍数。
解：设两个数列相同项按原来的前后次序
组成的新数列为
a
n
，则
a
1
< br>
11
的公差
d
3
4
12
,
a
n
1
2
n
1
<
/p>
∵数列
5
，
8<
/p>
，
11
，…和
3
，
7
，
11<
/p>
…的
公差
分别为
3
与
4
<
/p>
a
n
又
因
为
数
列
5
，
8
，
11
，
…
和
< br>3
，
7
，
11
…
的
第
100
项
分
别
是
302
和
399
，
a
n
12
n
1
302
即
n
25
.
5<
/p>
,
又
n
N
,
所以两个数列
有
25
个相同的项。
其和
S
25
11
25
25
24
12
3875
2
分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来
求解。
解：设数列
5
，
8
，
11
< br>，…和
3
，
7
< br>，
11
…分别为
a
n
,
< br>
b
n
,
则
a
n
3
n
2
,
b
n
4
n
1
设
a
< br>n
中的第
n
< br>项与
b
n
中的第
m
项相同，即
4
m
1
,
又
m
,
n
N
,
设
m<
/p>
3
r
,
(
r
N
)
得
n
4
r
1
3
1
3
r
<
/p>
100
根据题意得：
< br>解得
:
1
r
25
(
r
N
)
1
4
r
1
100
25
24
从而有
25
个相
同的项，且公差为
12
，其和
S
25
11
25
12
3875
2
3
n
2
4
m
1
n
< br>(
另法
:
由
m=3r
知第
r
个相同的项为
b
3r
=12r-1
…
)
方法提炼
：法
1:
设两数列中
a
n
=b
m
,
求出
n(
或
m)
应满足的关系
,
再代回
a
n
(
或
b
m
)
法
2:
两等差数列中相同的项成等差数列
,
且公差
是两等差数列公差的最小公倍数
.
例
4
、等差数列
{a
n
< br>}
中，前
m
项的和为
77
（
m
为奇数）
，其中偶数项的和为
33
，且
a
1
-a
m
< br>=18
，
求这个数列的通项公式。
m
1
2
(
a
2
a
m
1
)
33
解法
1:
由已知
2
m
(
a
1
a
m
)
77
< br>
2
又
a
2
a
m
1
a
1
a
m
,
两式相除得
①
②
m
1
33
,
m
7
,
2
m
77
从而由②得：
a
1
+a
7<
/p>
=22,
又已知
< br>a
1
-a
7
=18,
可解得
a
1
=20,a
7
=2.
公差
d=-3,
a
n
=-3n+23.
解法
2:
利用前奇数项和与中项的关系
令
m=2n-1
，
n
∈
N
+
S
2
n
1
(
2
n
1
)
a
n
77
则
S
(
n
1
)
a
33
n
偶
∴
2
n
1
77
, n=4,
m=7, a
n
=11
n
1
33
∴
a
1
+a
m
=2a
n
=22,
又
a
1
-a<
/p>
m
=18
∴
a
1
=20
，
a
m
=2
∴
d=-3
∴
a
n
=-3n+23
提炼拓展
；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．
【研讨
.
欣赏】
已知数列
a
1
,
a
2
,
,
a
30
，其中
a
1
,
a
2
,
,
< br>a
10
是首项为
1
，公差为
1
的等差数列；
（
d
0
）
.
（
1
）
a
10
,
a
11
,
,
a
20
是公差为
d
的等差数列；
a
20
,
a
21
,
,
a
30
是
公差为
d
2
的等差数列
若
a
20
< br>40
，求
d
；
< br>
（
2
）试写出
a
30
关于
d
的关系式，并求
a
30
的取值
范围；
（
3
）续写已知数列，使得
a
30
,
a
31
,
,
a
40
是公差为
d
3
的等差数列，……，依次类推，把已知
数列
推广为无穷数列
.
[
解
]
（
1
）
a
10
10
.
a
20
10
10
d
40
,
d
3
.
（
2
）
a
30
a
20
10
d
2
10
1
d
d
2
a
30
2
1
3
10
< br>
d
，
2
4
(
d
0
)
，
当
d
(
,
0
)
(
0
< br>,
)
时，
a
30
7.5,
.
（
3
）所给数列可推广为无穷数列
a
n
，其中
a
1
,
a
2<
/p>
,
,
a
10
是首项为
1
，公
差为
1
的等差数
列，当
n
1
时，数列
a
10
n
,
a
10
n
< br>1
,
,
a
10
(
n
1
)
是公差为
d
n
的等差数列
.
解题回顾
：方法是基本的——转化为
基本量
,
利用通项公式
.
题
(3)
考查类比的能力
.
五．提炼总结以为师
1.
等差数列的概念和性质，证明数列
{
a
n
}
是等差数列的方法：
2.
等差数列的通项公式与前
n
项和公式的求法与应用
;
五个元素
a
1
，
a
n
，
n
，
< br>d
，
S
n
中知三，可求另两个
.
3.
思想<
/p>
.
方法
:
转化
为基本量
,
利用性质
,
方程的思想
,
同步练习
等差数列
【选择题】
1.
在等差数列
{a
n
}
中
,a
m
=n,a
n
=m,
则
a
m+n
的值为
（
）
（
A
）
m+n
（
B
）
1
1
(
m
n
)
（<
/p>
C
）
(
m
n
)
（
D
）
0
2
2
2.
(
2006
全国Ⅰ
)
设
< br>
a
n
是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15
，
a
1
a
2
a
3
80
，则
A
120
B
105
C
90
D
75
3.
如
果
a
1
，
a<
/p>
2
，…，
a
8<
/p>
为各项都大于零的等差数列，公差
d
<
/p>
0
，则
（
）
a
11<
/p>
a
12
a
13
( )