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2021年2月22日发(作者：风中的玫瑰)

第

四

章

数

列

一、知 识导学

§

4.1

等差数列的通项与求和

1.

数列：按一定次序排成的一列数叫做数列

< br>.

2.

项：

数列中的每一个数都 叫做这个数列的项，

各项依次叫做这个数列的第

1

项

（或首

项），第

2

项，…，第

n

项，…

.

3.

通项公式：一般地，如果数列｛

a

n

｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来

表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式

.

4.

有穷数列

:

项数有限的数列叫做 有穷数列

.

5.

无穷数列

< p>
:

项数无限的数列叫做无穷数列

6.

数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系

< br>可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式

.

递推公式是给出数列的一

种重要方法，其关健是先求出

a

1

,a

2

,

然后用递推关系逐一写出数列中的项

.

7.

等差数列

:

一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等

于同一个常数，

那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做等差数列的公差，

公差通常用

ｄ表示．

8.

等差中项

:

如果ａ，

Ａ ，

ｂ这三个数成等差数列，

那么Ａ＝

叫 做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

a



b

a



b

．

我们把Ａ＝

2

2

1.

数列的概念应注意几点： （

1

）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相

同而排列次序不同，则就是不同的数列；

（

2

）同一数列中可以出现多个相同的数；

（

3

）数

列看做一个定义域为正整数集或其有限子集

(

｛

1

，

2

，

3

，…，

n

｝

)

的函数

.

2.

一个数列的通项公式通常不是唯一的

.



S

1

3.

数列｛

a

n

< p>
｝的前

n

项的和

S

n

与

a

n

< p>
之

间的关系：

a

n







S

< p>
n



S

n



1

a

n

(n>2),

则

a

n

不用分段形式表示，切不可不求

a

1

而直接求

a

n

.

(

n



1

< br>),

(

n



2

).

若

a

1

适合

4.

从函数的角度考查等差数 列的通项公式：

a

n

= a

< p>
1

+(n-1)d=d

·

n+ a

1

-d, a

n

是关于

n

的

一次式；从图像 上看，表示等差数列的各点（

n,

a

n

）均匀排列在一条直线上，由两点确定

一条直线的性质，不难得 出，任两项可以确定一个等差数列

.

5

、对等差数列的前

n

项之和公式的理解：等差数列的前

n

项之和公式可变形为

S

n



d

2

d

d

d

n



(

a

1



)

n

，若令

A

＝

，

B

＝

a

1

－

，则

S

n

＝

An

< br>2

+Bn.

2

2

2

2

6

、在解决等差数列问题 时，如已知，

a

1

，

< br>a

n

，

d

，

S

n

，

n

中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[

例

1]

已知数列

< p>
1

，

4

，

7

，

10

，…，

3n+7,

其中后一项比前一项大

3.

（

1

）指出这个数列的通

项 公式；

（

2

）指出

1+4+

…

+

（

< br>3n

－

5

）是该数列的前几项之 和

.

错解：

（

1

）

a

n

=3 n+7;

(2) 1+4+

…

+

（

3n

－

5

）是该数列的前

n

项之和

.

错因：

误把最后一项

（含

n

的代数式）

看成了数列的通项

.

（

1

）

若令

n=1,a

1

=10



1,

显然

3n+7< /p>

不是它的通项

.

正解：

< br>（

1

）

a

n

=3n

－

2;

(2) 1+4+

…

+

（

3n

－

5

）是该数列的 前

n

－

1

项的 和

.

2

2

[

例

2]

已知数列

< br>

a

n



的前

n

项之和为①

S

n



2

n



n

②

S

n



n



n



1

求数列



a

n



< p>
的通项公式。

2

2

错解< /p>

：

①

a

n



2

< p>
n



n



2

(

n



1

)



(

n



1

)

< /p>

4

n



3

2

2

②

a

n



n



n



1



(

n



1

)

< br>

(

n



1

)



1



2

n

错因：在对数列概念的理解上，仅 注意了

a

n

＝

S

n

－

S

n- 1

与的关系，没注意

a

1

=S

1

.

正解

：

①当

n



1

时，

a

1



S

1



1

2

2

< br>

当

n



2

时，

a

n< /p>



2

n



n



2

(

< p>
n



1

)



(

n



1

)



4

n



3

经检验

n



1

时

a

1



1

也适合，



a

n



4

n



< p>
3

②当

n



1

时，

a

1



S

1



3

2

2

当

n



2

时，

a

< p>
n



n



n



1



(

n



1

)



(

n

< /p>

1

)



1



2

n

(

< p>
n



1

)



3

∴

a

n







2

n

(

n

< p>


2

)

[

例

3]

已知等差数列



a

n



的前

n

项之和记为

S

n< /p>

，

S

10

=10

，

S

30

=7 0

，则

S

40

等于

。

错解< /p>

：

S

30

= S

10

·

2d.



d

＝

30

，



S

40

= S

30

+d =100.

错因：将等差 数列中

S

m

, S

2m

－

S

m

, S

3m

－

S

2m

成等差数列误解为

S

m

, S

2m

, S

3m

成等差数列

.

1 0



9



10

a



d



10



2

2



1

2

正解

：由题意：



得

a

1



,

d



5

15



< p>
30

a



30

< p>


29

d



70

1



2



代入得

S

40

＝

40

a

1



40



< br>39



40

d

< br>

120

。

2

< br>[

例

4]

等差数列



a

n



< br>、



b

n



的前

n

项和为

S

n

、

T

n

.

若

S

n< /p>

a

7

n



1



(

n

< p>


N



),

求

7

；

T

< br>n

4

n



27

b

7

错解

：因为等差数列的通项公式是关于

n

的一次函数，故由题意令

a

n

=7n+1;b

< br>n

=4n+27.



a

7

7



7



1

10





b

7

4



7



27

11

S

n

a

n



T

n

b< /p>

n

错因：误认为

正解

：



a

7

a

7



a

7< /p>

S

13

7



13



1

92









b

7

b

7



b

7

T

< br>13

4



13

< br>

27

79

[

< br>例

5]

已知一个等差数列



a

n



的通项公式

a

n

=25

－

5n

，求数列



|

a

n

|



的前

n

项和；

错解：

由

a

n



0

得

n

< /p>

5





a

n



前

< p>
5

项为非负，从第

6

项起 为负，



S

n

=a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

=50(n

< br>

5)

当

n



6

时，

S

n

=

｜

a

6

｜

+

｜

a

7

｜

+

｜

a

8

｜

+

…

+

｜

a

< br>n

｜＝

(

20

< br>

5

n

)(

n



5

)

2

,

n



5< /p>



50





S

n

=



(

20



5

n

)(

n



< p>
5

)

,

n



6



2



错因：一、把

n



5

理解为

n=5

，二、把“ 前

n

项和”误认为“从

n



6

起”的和

.

< p>


n

(

45



5

n

)

< br>,

n



5





2

正解

：



(< /p>

20



5

n

)(

n



5

)





50

,

n



6



2



[

< br>例

6]

已知一个等差数列的前

1 0

项的和是

310

，前

20

项的和是

1220

，

由此可以确定求其前

n

项和的公式吗？

解：

理由如下：由题设：

S

10



310

S

20



< p>
1220



10

a

1



45

d



310



a

1



4

得：

< p>









20

a

< br>1



190

d

< br>

1220



d



6

∴

S

n



4

n



n

(

n



1

)



6

< br>

3

n

2



n

2

1



n

[

例

7]< /p>

已知：

a

n

< /p>

1024



lg

2

（

lg

2



0

.

301 0

）

n



N< /p>



（

1

）

问前多少项之和为最

大？（

2

）前多少项之和的绝对值最小？

< /p>

a

n



1024



(

1



n

)

lg

2



0

1024

102 4





n

< /p>



1



3401



n



340 3

解

：

（

1

）



a



1024



n

lg

2



0

lg< /p>

2

lg

2



n



1

∴

n



3402

（

2

）

S

n



1024< /p>

n



n

(

n



1

)

< p>
(



lg

2

)



0

2

< br>

当

S

n



0

或

S

< p>
n

近于

0

时其和绝对值最 小

令：

S

< p>
n



0

即

1024+

得：

n



n

(

n



1

< p>
)

(



lg

2

)



0

< br>2

2048



1



6804

.

99

< p>
lg

2

∵

n



N



∴

n



6805

[

例

8]

项数是

2

n

的等差数列，

中间两项为

a

n

和

a

< p>
n



1

是方程

< p>
x



px



q



0

的两根，

< p>
求证此

数列的和

S

2

n

是方程

lg< /p>

x



(lg

n< /p>



lg

p

)

lg

x



(lg< /p>

n



lg

p

)



0

的根。

（

S

2

n



0

）

证明：

依题意

a

n



a

n



1



p

< br>

2

2

2

2

2

∵

a

1



a

< br>2

n



a

n



a

n



1



p

∴

S

2

n



2

2

2

2

n

(

a

1



a

2

< br>n

)



np

2

2

∵

lg

x



(lg

n



lg

p

)

lg

x



< br>(lg

n



lg

p

)



0

2

∴

(lg

x



lg

np

)



0

< p>
∴

x



np



S

2

n

< br>

（获证）

。

< p>
四、典型习题导练

n

1

． 已知

a

1



3

且

a

n



S

n



1



2

，求

a

< p>
n

及

S

n

。

n

(

n



1

)

(

n



1

)

2< /p>



a

n



2

．设

a

n



1



2



2



3

< br>

3



4







n

(

n



1

)

，求证：

。

2

2< /p>

3.

求和

:

1



1

1

1









1



2

1



2



3

< br>1



2



3







n

2

2

2

2

2

2

4.

求和：< /p>

(

100

< /p>

99

)



(

98



97

)







(

4



3

)



(

2



< br>1

)

2

2

2

2

2

5.

已知

a

,

b

,

c

依次成等差数列，求证：

a



bc

,

b

< p>


ac

,

c



ab

依次成等差数列

.< /p>

6.

在等差数列



a

n



中，

a

5



a

13



40

，则< /p>

a

8



a

9



a

< p>
10



（

）

。

A

．

72

B

．

60

C

．

48

D

．

36

7.

已知



a

n< /p>



是等差数列，且满足

a

m



n

,

a

n



m

(

m



n

)< /p>

，则

a

m



n

等于

________

< br>。

8.

已知数列





1



11

13

a





< br>,

a





成等差数列，且

，求

a

8

< p>
的值。



3

5

< p>
6

7



a

n



2



§

4.2

等比数列的通项与求和

一 、知识导学

1.

等比数列：

一般地，

如果一个数列从第２项起，

每一项与它的前一项的比都等于

同

一

个

常

数，

那

么

这

个

数

列

就

叫

做

等

比

数

列，

这个 常数叫做等比数列的公比，

公比通常用字母ｑ表示．

2.

等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ

为ａ

和ｂ

的等比中项．



n



a

1



3.

等比数列的前

n

项和公式：

S

n





< p>
a

1

(

1



q

n

)

a

1



a

n



q



1< /p>



q



1



q



(

< p>
q



1

)

(

q



1

)

二、疑难知识导析

1.

由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为

0

，因此

q

也不为

0.

2.

对于公比

q

，要 注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒

.

3.

“从第

2

项起”是因为首项没 有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第

2

项起，

而是从第

3

项或第

4

项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，

此数列不是等比 数

列，这时可以说此数列从

.

第

2

项或第

3

项起是 一个等比数列

.

n-1

4.

< p>
在已知等比数列的

a

1

和

q

的前提下，利用通项公式

a

n

=a

1

q

< p>
,

可求出等比数列中的任

一项

.

n-m

5.

在已知等比数列中任 意两项的前提下，使用

a

n

=a

m

q

可求等比数列中任意一项

.

6.

等比数列｛

a

n

｝的通项公式

a

n< /p>

=a

1

q

可改写 为

a

n



n- 1

a

1

n

< /p>

q

.

当

q>0< /p>

，且

q



1

时，

y=q

x

q< /p>

是一个指数函数，

而

y

< br>

a

1

x



q

是一个不为

0

的常数与指数函数的积，

因此等比数列

｛

a

n

｝

q

< br>的图象是函数

y



a

< p>
1

x



q

的图象上的一群孤立的点

.

q

7

．在解决等比数列问题时，如已知，

a

1

，

a

n

，

d

，

S

n

，

n

中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[

例

1]

已知数列



a

n



的前

n

项之和

S

n

=aq

（

a



0

,

q



1

,

q

为非零常数）

，则



a

n



为（

）

。

n

A.

等差数列

B.

等比数列

C.

既不是等差数列，也不是等比数 列

D.

既是等差数列，又是等比数列

n



1

n

n

错解

：



a

n



1



< p>
S

n



1



S

n



aq



aq



aq

(

q



1

)



a

n



S

n



S

n



1



aq

n

< p>


1

(

q



1

)



a

n



1



q

（常数）

a

n





a

n



为等比 数列，即

B

。

错因：忽略了



a

n



S

n



S

n



1

中隐含条件

n

＞

1.

正解

：当

n

＝

1

时，

a

1

< br>=S

1

＝

aq;

n



1

当

< br>n>1

时，



a

n



S

n



S

n



1



aq

(

q



1

)



a

n



1



q

（常数）

a

n

a

< p>
2



q



1



q

a

1

但







a

n

< /p>

既不是等差数列，也不是等比数列，选

C

。

[

例

2]

< /p>

已知等比数列



a

n



的前

n

项和记为

S

n

，

S

10

=10

，

< br>S

30

=70

，则

S

40

等于

.

< p>
错解

：

S

30

< p>
= S

10

·

q

.



q

＝

7

，

q

＝< /p>



2

2

7

，



S

40

= S

30

·

q =



70

7

.

错因：是将等比数列中

S

m

< p>
, S

2m

－

S

m

, S

3m

－

S

2m

成等比数列误解为

S

m

, S

2m

, S

3m

成等比数列

.



a

1

(

1



q

10

)



10



a

1





< /p>

10





1



q

1



q

正解

：由题意：

< /p>

得



，

30



a

1

(

1



q

)



70



q

10



2

< br>或

q

10





3

(

舍去

)







1



q



S

40

=

a

1

（

1



q

< p>
40

）



200

.

1



q

< p>
2

3

n

[

例

3]

求和：

a+a

+a

+

…

< p>
+a

.

1



< p>
a

n

错解

：

a+a

+a

+

…

+a

＝

.

1



a

2

3

n

错因：是（

1

）数列｛< /p>

a

｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前

n

项和公式（

2

）用

等比数列前

n

项和公式应讨论

< br>q

是否等于

1.

2

< p>
3

n

正解

：当

< p>
a

＝

0

时，

a+a

+a

+

…

< p>
+a

＝

0;

2

3

n

< /p>

当

a

＝

1

时，

a+a

+a

+< /p>

…

+a

＝

n;

n

1



a

n

当

a



1

时，

a+a

+a< /p>

+

…

+a

＝

.

1



a

2

3

n

[

< p>
例

4]

设

a

,

b

,

c

< br>,

d

均为非零实数，

a



b

d



2

b



a

< br>

c



d



b



c



0

，

2

2

2

2

2





-

-

-

-

-

-

-

-