《等差数列》教案全面版
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《等差数列》教案
教学目标：
明确等差中项的概念，进
一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应
用意识，提高学生的数学素
质
.
教学重点：
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
.
教学难点：
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
.
教学过程：
Ⅰ
.
复习回顾
等差数列定义：
a
n
< br>－
a
n
－
1
＝
d
(
n
≥
2)
，等差数列通项公式：
a
n
＝
a
1
＋
(
n
< br>－
1)
d
(
n
≥
1)
，推导公
式：
a
n
＝
< br>a
m
＋
(
n
－
m
)
d
Ⅱ
.
讲授新课
首先，请同学们来思考这样一个问题
.
问题
1
：如果在
a
< br>与
b
中间插入一个数
A
，使
a
、
A
、
b
成等差数列，那么
A
应满足什么条
件？
< br>a
＋
b
由等差数列定义及
a
、
A
、
b
成等差数列可得：
A
－
a
＝
b
－
A
，即：
a
＝
.
2
a
＋
b
反之，若
A
＝
，则
2
A
＝
a
＋
b
，
A
－
a
＝
b
－
A
，即
a
、
A
、
b
成等差数列
< br>.
2
a
＋
b
总之，
A
＝
a
，
A
，
b
成等差数列
.
< br>2
如果
a
、
A
、
b
成等差数列，那么
a
叫做
a
与
b
的等差中项
.
不难发现，在一个等差数列中，从第
2
项起
，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的
前一项与后一项的等差中项
< br>.
如数列：
1
，
3
，
5
，
< br>7
，
9
，
11
，
13
，……中，
3
是
1
和
< br>5
的等差中项，
5
是
3
和
7
的等差
中项，
7
是
5
和
9
的等差中项等等
.
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
3
＋
7
比如
< br>5
不仅是
3
和
< br>7
的等差中项，
同时它也是
1<
/p>
和
9
的等差中项，
即不仅满足
5
＝
< br>，
2
1
＋
9
同时还满足
5
＝
< br> .
2
再如
7
不仅是
5
和
9
的等差中项，同时它也是
3
和
11
的等差中项，还是
1
和
13
的等差
5
＋
9
3
＋
11
1
＋
13
中项，即：
7
＝
＝
＝
.
2
2
2<
/p>
看来，
a
2
＋<
/p>
a
4
＝
a
1
＋
a
5
＝
2
a
3
，
a
4
＋
a
6
＝
a
3
＋
a
7
＝<
/p>
2
a
5
依此类推，可得在一等差数列中，若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
.
下面，我们来看一个实际问题
.
［例
1
］梯子的最高一级宽
33
cm
，最低一级宽
110
cm
，中间还有
10
级，
各级的宽度成
等差数列，计算中间各级的宽度
.
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实
际情况将其还原为实际问题的解
.
解：用
{
a
n
}
表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有
a
1
＝
33
，
< br>a
12
＝
110
，
n
＝
12.
由通项公式，得
a
12
＝<
/p>
a
1
＋
(12<
/p>
－
1)
d
，即：
110
＝
33
＋
11
d
，解得：
d
＝
7.
因此，
a
2
＝
33
< br>＋
7
＝
40
，
a
3
＝
40
＋
7
＝
4
7
，
a
4
＝<
/p>
54
，
a
5
＝
61
，
a
6
＝
68
，
a
7
＝
75
，
a
8
＝
82
，
a
9
< br>＝
89
，
a
10
＝
96
，
a
11
＝
103.
答案：
梯子中间各级的宽度从上到下依次是
40
cm
，
47
cm
，
54
cm
，
61
cm
，
68
cm
，
75
cm
，
82
cm
，
89
cm
，
96
cm
，
103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解
.
［例
2
］已知数列的通项公式为
a
n
＝
pn
＋
q
，其中
p
、
q
是常数，且
p
< br>≠
0
，那么这个数列
是否一定是
等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列
的定义，要判定
{
a
n
}
是不是等差数列，只要看
a
n
－
a
n
－<
/p>
1
(
n
≥
2)
是不是一
个与
n
无关的常数就行了
.
解：取数列
{
a
n
}
中的任意相邻两项
a
n
－
1
与
a
n<
/p>
(
n
≥
2)
，
a
n
－
a
n
－
1
＝
(
pn
＋
q
)
－
[
p
(
n
－
1)
＋
q
]
＝
pn
＋
q<
/p>
－
(
pn
－
p
＋
q
)
＝
p
它是一个与
n
无关的常数，所以
{
a
n
}
是等差数列，且公差是
p
.
在通项公式令
n
＝
1
，得
a
1
＝
p
＋<
/p>
q
，所以这个等差数列的首项是
p
＋
q
，公差是
p
.
看来，等
差数列的通项公式可以表示为：
a
n
＝
pn<
/p>
＋
q
（其中
p<
/p>
、
q
是常数）
当
p
＝
0
时，
它是一常数数列，
从图象上看，
表示这个数列的各点均在
y
＝
q
的图象上
.
当
p
≠
0
时，它是关于
n
的一次式，从图象上看，表示这个数
列的各点均在一次函数
y
＝
px
＋
q
的图象上
.
例如，首项是
1
，公
差是
2
的无穷等差数列的通项
公式为：
a
n
＝
2
n
－
1
，相应的图象是直线
y
＝
2
x
－
1
上
的均
匀排开的无穷多个孤立点
.
如图所示：
［例
3
］已知三个数成等差数列，其和为
15
，其平方
和为
83
，求此三个数
.
解：设此三数分别为
x
－
d
、
x
、
x
＋
d
（
x<
/p>
－
d
）＋
x
＋（
x
＋
d
）＝
15
则
2
2
2
（
x
－
d
）
＋
x
＋（
x
＋
d
）
＝
83
解得
x
＝
5
，
d
＝±
2.
∴所求三个数列分别为
3
、
5
、
7
或
7
、
5
、
3.
评述：三个数成等差数列时注意其设法
.
［例
4
］已知数列
{
a
n
}
为等差数列，
a
1
＝
2
，
a
2
＝
3
，若在每相邻两项之间插入三个数后，
和原数列仍构
成一个等差数列，试问：
（
1
）原数列的第
12
项是新数列的第几项？
（
2
）新数列的
第
29
项是原数列的第几项？
分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回
到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径
.
解：原数列的第一项是新数列的第
1
项，原数列的第二
项是新数列的第
2
＋
3
＝
5
项，原
数列的第三项是新
数列的第
3
＋
2
×
3
＝
9
项
.
……原数列的第
n
< br>项是新数列的第
n
＋
(
n
－
1)
×
3
＝
4
n
－
3
项
.
< br>（
1
）当
n
＝
12
时，
4
n
－
3
＝
4
×
12
－
3
＝
45
，故原数列的第
12
项是新数列的第
45
项<
/p>
.
（
2
）令<
/p>
4
n
－
3
＝
29
，解得
n
＝
8
，故新数列的第
29
项是原数列的第
8
项
.
评述：一般地，在公差为
d
< br>的等差数列每相邻两项之间插入
m
个数，构成一个新的等
差
d
数列，则新数列的公差为
，原数列的第
n
项是新数列的第
n
＋
(
n
< br>－
1)
m
＝
(
m
＋
1)
n
－
m
项
.
m
＋
1