第2节 等差数列
-
第
2
节
等差数列
[
考纲展示
]
1.
理解等差数列的概
3.
能在具体
的问题情境中识别数列的等差
念
.
关
系
,
并能用等差数列的有关知识解决相应
2.
掌握等差数列的通
的问题
. <
/p>
项公式与前
n
项和公
4.
了解等差数列与一次函数的关系
.
式
.
1.
等差数列的相关概念
(1)
定义
:
如果一个数
列从第
2
项起
,
每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数
,
那么这个数列就叫做等差数列
.
符号表示为
a
n
-a
n-1
=d(n
≥
2,n
∈<
/p>
N
*
,d
为常数
).
(2)
等差中项
:
若
a,A,b
成等差数列<
/p>
,
则
A
叫做
a
与
b
的等差中项
,
且
A=
a<
/p>
b
.
2
2.
等差数列的通项公式
(1)
若等差数列
{a
n
}
的首项是
a
1<
/p>
,
公差为
d,
则
其通项公式为
a
n
=a
1
+(n-
1)d.
(2)
通项的推广
:a
n
=a
m
+(n-m)d.
3.<
/p>
等差数列的前
n
项和公式
(1)
已知等差数列
{a<
/p>
n
}
的首项
a<
/p>
1
和第
n
项
a
n
,
则其前
n
项和公式
S
n<
/p>
=
n
a
1
a
n
2
.
(2)
已知等差数列
{a
n
}
的首项
a
1
与
公差
d,
则其前
n
项和公式
S
n
=na
1
+
n
< br>n
1
2
d.
4.
等差数列
{a
n
}
的性质
(1)
若
m+n=p+
q,
则
a
m
+
a
n
=a
p
+
a
q
(
其中
m
,n,p,q
∈
N
*
< br>),
特别地
,
若
p+q=2m,
则
a
p
+a
q
=2a
m
(p,q,m
∈
N
*
).
(2)
若等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
则
S
k
,S
2k
-S
k
,S
3k
-S
2k
,
…成等差数列
.
(
3)
若下标成等差数列
,
则相应的项也
成等差数列
,
即
a
k
,a
k+m
,a
k+2m
,
…
(k,m
∈
N
*
)
成等差数列
.
(4)
若
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
< br>n
,
则
S
2n-1
=(2n-1)a
n
.
5.
等差数列的增减性与最值
公差
d>0
时为递增数列
,
且当
a
1
<0
时
,
前
n
项和
S
n
有
最小值
;d<0
时为
递减数列
,
且当
a
1
>0
时
,
前
n
项和
S
n
有最大值
.
6.
等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式
a
n
=a
1
+(n-1)d
可得<
/p>
a
n
=dn+(a
1
-d),
如果设
p=d,q=a<
/p>
1
-d,
那么
a
n
=pn+q,
其中
< br>p,q
是常数
.
当
p
≠
0
时
< br>,(n,a
n
)
在一次
函数
y=px+q
的图象上
,
即公差不为零的等差数列的图象是直线
y=px+q
上的均匀排开的一群孤立的点
.
当
p=0
时
,a
n
=q,
等差数列为常
数列
,
此时数列的图象是平行于
x
轴的
直线
(
或
x
轴
)
上的均匀排开的
一群孤立的点
.
1.
等差数列
11,8,5,
…
,
< br>中
-49
是它的第几项
(
C
)
(A)
第
19
项
(B)
第
20
项
(C)
第
21
项
(D)<
/p>
第
22
项
解析
:a
1
=11
,d=8-11=-3,
所以
a
n<
/p>
=11+(n-1)
×
(-3)=-3n
+14.
由
-3n+14=-49,
得
n=21.
故选
C.
2.(2018
·
山西太原模拟
)
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
a
2
+a
3
+a
10
=9,
则
S
9
等于
(
D
)
(A)3
(B)9
(C)18
(D)27
解
析<
/p>
:
由
等
差
数
列
{a
n
}
中
,a
2
+a
3
+a
10
=9,
得
3a
1
+12d=9,
所
以
3a
5
=9,a
5
=3,S
9
=
9
< br>
a
a
=9a
5
=27.
故选
D.
1
9
2
3.
设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
,
若
S
8
=4a
3
,a
7
=-2,
则
a
9
等于
(
A
)
(A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2
解析
:S
8
=
8
a
a
=4(a
3
+a
6
).
因为
S
8
=4a
3
,
所以
a
6
=0.
又
a
7
=-2,
所以
d=a
7
-<
/p>
1
8
2
a
6
=-2,a
9
=-
6.
故选
A.
4.
< br>在等差数列
{a
n
}
中
,a
1
=7,
公差为
d,
前
n
项和为
S
n
,
当且仅当
n=8
时
S
n
取得最大值
,
则
d
的取值范围为
.
a
＞
0,<
/p>
7
7
d
＞
0,
解析
:
由题意知
d<0
且
即
8
a
9
＜
0,
7
8
d
＜
0,
解得
-1
7
.
8
答案
:(-1,-
7
)
8
5.(
教
材
改
编
题
)
在
等
差
数
列
{a
n
}
中
,
若
a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=450,
则
a
2
+a
8
=
.
解析
:
由等
差数列的性质
,
得
a
< br>3
+a
4
+a
< br>5
+a
6
+a
< br>7
=5a
5
=450,
所以
a
5
=90,
所以
a
2
+a
8
=2a
5
=180.
答案
:180
6.
把下列结论正确的序号填在横线上
.
①若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数<
/p>
,
则这个
数列是等差数列
.
②等差数列
{a
n
}
的单调性是由公差
d
决定的
.
③等差数列的前
n
项和公式是常数项为
0
的二次函数
.
④已知等差数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
=3-2n,
则它的公差为
-2
.
答案
:
②④
考点一
等差数列基本量的运算
【例
1
】
<
/p>
(1)(2017
·
全国Ⅰ卷
)
记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
.
若
a
4
+a
5
=24,S
6
=48,
则
{a
n
}<
/p>
的公差为
(
)
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
(2)(201
8
·
全
国
Ⅰ<
/p>
卷
)
记
S
n
为
等
差
数
列
{a
n
}
的
前
n
< br>项
和
,
若
3S
3
=S
2
+S
4
,a
1
=2,
则
a
5
等于
(
)
(A)-12
(B)-10
(C)10 (D)12
解析
:(1)
设等差数列首项为
a
1
,
公差为
d,
则<
/p>
a
4
+a
5
=2a
1
+7d=24,
< br>①
5
S
6
=6a
1
+
6
d=6a
1
+15d=48,
②
2
由①②得
d=4.
故选
C.
(2)
设
等
差
数
列
{a
n
}
的
公
差
为
d,
由
3S
3
=S
2
+S
4
,
得
3[3
a
1
+
3
<
/p>
3
1
2
2
1
4
1
×
d]=2a
1
+
2
2
×
d+4a
1
+
4
2
×
d,
< br>将
a
1
=2
代入上式
,
解得
d=-3,
故
a
5
=a
1
+(5-1)d=2+4
×
(-3)=-10.
故选
B.
(1)
等差数列的通项公式及前
n
项和公式共涉及五个量
a
1
,a
n
,d,n,S
n
,
知其中三个就能求另外两个
,
体现了用方程的思想来解决问题
.
(2)
数列的通项公式和前
n
项和公式在解题中起到变量代换作用
,
而
a
1
和
d
是等差数列的两个基本量
,
用它们表示已知量和未知量是常用<
/p>
方法
.
【跟踪训练
1
】
(1)
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
S
8
-S
4
=36,a
6
=2a
4
,
则
a
1
等于
(
)
(A)-2
(B)0 (C)2
(D)4
(2)
已知
{a
n
}
是公差为
1
的等差数
列
,S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
S<
/p>
8
=4S
4
,<
/p>
则
a
10
等于<
/p>
(
)
19
(A)
17
(B)
(C)10 (D)12
2
2
解析
:(1)
设等差数列
{a
n
}
的公差为
d,
因为
S
8
-S
4
=36,a
6
=2a
4
,
8
7<
/p>
4
3
d
4
a
1
d
36,
8
a
1
所以
2
2
a
5
d
2
a
6
d
,
1
< br>
1
a
解得
1
2,
d
2.
故选
A
.
7
4
3
(2)
由
S
8
=4S
4
,
得
8a
1
+
8<
/p>
×
1=4
×<
/p>
(4a
×
1),
1
+
2
2
解
得
a
1
=
1<
/p>
,
2
所以
a<
/p>
10
=a
1
+9
d=
19
,
故选
B.
2
考点二
< br>等差数列的判断与证明
(
典例迁移
)
【例
2
】
<
/p>
若数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且满足
a
n
+2S
n
S
n-1
=0(n
≥
< br>2),a
1
=
1
2
.
n
(1)
求证
:{
S
1
}
成等差数列
;
(2)<
/p>
求数列
{a
n
}
的通项公式
.
(1)
证明
:
当
n
< br>≥
2
时
,
由
a
n
+2S
n
S
n-1
=0,
得
S
n
-S
< br>n-1
=-2S
n
S
n-1
,
所以
S
1
-
S
1
=2,
n
n
1
1
1
又
S
=
a
=2,
1
1
故
{
S
1
}
是首项为
2,
公差为
2
的等差数列<
/p>
.
n
(2)
解
:
由
(1)
可
得
S
1
=2n,
所以
S
n
=
2
1
n
.
n
当
n
≥
2
时
,a
n
=S
n
-S
n-1
=<
/p>
2
1
n
-
1
2
n
1
=
n
1
n
=-
1
.
2
n
n
1
2
n<
/p>
n
1
当
n=1
时
,a
1
=
1
不适合上式
.
2
故<
/p>
1
2
,
n
1,
a
n
=
1
< br>
,
n
2.
2
n
n
1
<
/p>
【迁移探究】
已知数列
{a
n
}
< br>满足
2a
n-1
-a
n
a
n-1
=1(n
≥
2),a
1
=2
,
证明数列
{
a
1
1
}
是
等差数列
,
并求数列
{a
n
}
的通项公式
.
n
解
:
当
n
≥
2
时
,a
n
=2-
a
1
,
n
1
所以
a
1
< br>
1
-
a
n
1
n
1
=
1
1
1
-
1
a
n
1
1
2
< br>
1
a
n
1
=
1
1
1
a
n
1
n
1
-
a
1
n
1
< br>1
=
a
a
=
a
a
n
1
-
1
a
1
n
1
1
1
< br>n
1
1
n
1
=
1(
常数
).