小学数学四年级计算等差数列教师版
-
等差数列
知识要点
一、
按照一定次序排列的一列数叫数列。
二、
数列中的每一个数都叫做这个数
列的项，
各项依次叫做这个数列的第
1
项
（或首项）
、
第
2
项、
第
3
项、……、第
n
项、……
三、
数列的一般形式可以写成：
a
1
、
a
2
、
a
3
、……、
a
n
、……；其中
a
n
是数列的第
n
项；这个
数列可以简记作
{
a
n
}
（
n
为正整数）
。
四、
五、
六、
项数有限的数列叫做有穷数列，
有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。
项数无穷的数列叫做无穷数列。
如果
一个数列
{
a
n
}
，从第
2
项起的每一项
a
n
与它的前一项
a
n
1
的差等于同
一个常数，这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用
d
表示。
七、
等
差<
/p>
数
列
的
通
项
公
式
：
等
差
数
列
{
a
n
}
中
，
第
n
项
首
项
<
/p>
（
项
数
1
）
公
差
，
即
a
n
a
1
(
n
1)
d
d
n
(
a
1
d
)
（
n
为正整数）
八、
九、
项数公式：项数
（末项
首项）
公差
1
，即
n
(
a
n
a
1
)
d
1
（
n
为正
整数）
求和公式：等差数列
{
a
n
}
中，和
（首项
末项）<
/p>
项数
2
，即
S
n
(
a
1
a
n
)
n
n
(
n
1)
d
d
2
d
a
1
n
n
(
a
1
)
n
< br>（
n
为正整数）
2
2
2
2
< br>
1
十、
中项定理：对于任意一个项数为
奇数的等差数列
{
a
n
}
，中间一项的值等于所有项的平均数，
也等于首项与
末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即
a
a
2
……
a
n<
/p>
S
n
a
1
a
n
当
n
为正奇数时，
a
n
1
1
，
S
n
a
n
1
< br>
n
n
n
2
2
2
十一、
1
2
3
十二、
1
3
5
十三、
1
2
3
(
< br>n
1)
n
n
(
n
1)
（
n
为正整数）
2
(2
n
3)
(
2
n
1)
n
2
（
n
为正整数）
(
n
1)<
/p>
n
(
n
1)
3
2
1
n
< br>2
（
n
为正整数）
基础知识
【例
1
】
<
/p>
判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明
理由。
数列一：
6
、
10
、
14
、
18
、
22
、……；
数列二：
1
、
2
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、……、
99
、
100
；
数列三：
1
、
2
、
4<
/p>
、
8
、
16
、
32
、
64
；
数列四：
9<
/p>
、
8
、
7
、
6
、
5
、
4
、
3
、
2
、
1
；
数列五：
2010
、
2010
、
2010<
/p>
、
2010
、
2
010
、
2010
、
< br>2010
；
数列六：
1
、
0
、
1
、
0
、
< br>1
、
0
、
1
、
0
、
1
；
数列七：
11
、
24
、
37
、……、
179
、
192
、
205
。
【分析】
数
列一是等差数列，公差为
4
< br>；
因为
2
1
1
2
，即
a
2
a
1
a
3
a
2
；所以数列二不是等差数列；
因为
2
1
4
2
，即
a
2
a
1
a
3
a
2
；所以
数列三不是等差数列；
数列四是等差数列，公差为
1
；
数列五是等差数列，公差为
0
；
因为
0
1
1
0<
/p>
，即
a
2
a
1
a
3
a
2
；所以数列六不是等差数列；
假设数列七是等差数
列，则公差为
24
11
13
，
因为
13
所以原假设数列七是等差数列不成立，
所以数列七不是等差数列。
ł
179
11
，
2
【例
2
】
判断下列命题是否正确？
命题一：如
果数列
{
a
n
}
为等差数列，那么数列
{
a
2
k
1
}
为等差数列。
（
n
,
k
Z
）
命题二：如果数列
{
a
n
}
为等差数列，那么数列
{
a
2
k
}
为等差数列。
（
n
,
k
Z
）
< br>
命题三：如果数列
{
a
n
}
中，
{
a
2
k
1
}
、
{
< br>a
2
k
}
均为等差数列，那么数列
{
a
n
}
为等差数
列。
（
n
,
k
Z
）
命题四：如果数列
{
a
n
}
为等差数列，那么数列
{
a
mk
l
}
为等差数列。
（
n
,
k
,
m
,
l
Z
，
m
、
< br>l
为常数，
且
m
k
）
【分析】
命
< br>题一为真命题。若等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则数列
{
a
2
k
1
}
是公差为
2
d
等差数
< br>列。
命题二为真命题。
若等差
数列
{
a
n
}
的公差为
d
，
则数列
{
a
2
k
}
是公差为
2
d
等差数列。
命题三为假命题。数
列
2
、
1
、<
/p>
4
、
3
、
6
、
5
，
奇数项为
2
、
4
、
6
是等差数列，偶
数项为
1
、
3
、
5
是等差数列，但原数列不是等
差数
列。
命题四为真命题。
若等差数列<
/p>
{
a
n
}
的公差为
d
，
则数列
{
a
2
k
}
是公差为
md
等
差数列。
简单计算
【例
3
】
<
/p>
（
2008
年第六届“走进美妙的数学花
园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能
展示大赛四年级初赛）
(1
2
3
20
07
2008
2007
3
< br>
2
1)
2008
。
(1
2
3
……
2007
2008
2007
……
3
2
1)
2008
2008<
/p>
2
2008
2008
【分析】
【例
4
】
计算：
1.1
3.3
5.5
< br>
7.7
9.9
11.11
13.13
15.15
17.17
19.19
．
【分析】
原
式
5.5
5
15.15
<
/p>
5
（
5
.
5
1
5
）
.
1
5
5
2
0
.
5
6
5
1
0
3
.
2
5
< br>1
2
3
1990
______
1990
1990
1990
1990
【考点】等差数列计算题
【难度】
3
星
【题型】计算
1
2
3
1990
【解析】
原
式
1990
【例
5
】
计算
3
(1
19
90)
1990
< br>2
1990
1
995
2
【例<
/p>
6
】
计算：<
/p>
2009
2008
2007
2006
2005
2004<
/p>
2003
2
002
5
4
3
<
/p>
2
【分析】
2009
2008
< br>
2007
2006
2005
2004
2003
2002
……
5
4
3
2
<
/p>
2009
(2008
< br>
2007
2006
2005)
(20
04
2003
2002
2001)
……
(4
3
2
1)
1
2009
0
0
……
0
1
2008
【例
7
】
<
/p>
计算：
1000
999
998
< br>997
996
995
106
105
104
103
102
101
。
【分析】
（
方法一）
1000
999
998
997
996
995<
/p>
……
106
105
1
04
103
102
101
< br>
(1000
997
……
106
103)
(99
9
996
……
105
102)
(998
995
……
104
101)
(103<
/p>
1000)
[(1000
103)
3
1]
(102
999)
[(9
99
102)
3
1]
2
2
(101
998)
[(998
101)
3
1]
2
1103
300
11
01
300
1099
300
300
(1103
1101
1099)
1105
150
165750
2
2
2
2
（方法二）
1000
99
9
998
997
996
995
……
< br>106
105
104
103
102
101
(1000
9
99
998
997
996
< br>995
……
106
105
104
103
102
101)
(998
995
……
104
101)
2
(101
1000)
[(1000
101)
1
1]
(101
< br>998)
[(998
101)
3
1]
2
2
2
495450
329700
165750
（方法三）
1000
99
9
998
997
996
995
……
< br>106
105
104
103
102
101
1000
(9
99
998)
997
(996
995)
……
106
(105
<
/p>
104)
103
(102
101)
1000
1
997
1
……
106
1
103
1
(1000
997
……
106
<
/p>
103)
(1
1
……
1
1)
30
0
个
1
<
/p>
(103
1000)
< br>
[(1000
103)
3
1]
1
300
165450
3
00
165750
2
【例
8
】
<
/p>
（
1995
年吉林省“金翅杯”竞赛）<
/p>
5
个连续自然数的和是
35
，求这
5
个数。
【分析】
（
方法一）设这
5
个连续自然数中最小的数为
n
（
n
N
）
，
这<
/p>
5
个连续自然数的和为
n
(
n
1)
(
n
2)
(
n
3)
(
n
4)
<
/p>
5
n
10
35
；
所以这
5
个连续自然数中最小的数
n
(35
10)
5
5
；
所以这
5
个连续自然数从小到大依次为
5
、
6
、
7
、
8
、
9
。
（方法二）中间数（从小到大第
3
个数）为
35
5
7
；
所以这
5
个连续自然数从小到大依次为
5
、
6
、
7
、
8
、
9
。
【例
9
】
<
/p>
（
2006
年浙江省夏令营试题）
17
个连续偶数的和是
2006
，求这
17
个连续偶数中
4
最小的是多少？
【分析】
中
间数（从小到大第
9
个数）为
2006
17
11
8
所以这
17
个连续偶数中最小的是
118
(9
1)
2<
/p>
102
。
【例
10
】
（
1
）
7
个连续的偶数中，第
2
个数与第
6
个数的和是
36
，求最
小的偶数。
（
2
）
（
2002
年江西省婺源县竞赛
）
6
个连续自然数的和是
261
，中间
2
个
数的和是
多少？
【分析】
< br>（
1
）
中
间
数
（
从
小
到
大
第
4
个
数
）
为
36
2
18
；
所
以
最
小
的
偶
< br>数
为
18
(4
1)
2
12
（
2
）中间
2
个数的和为
261
6
2
87
【例
11
】
在
1~100
这
100
个自然数中，所有能被
9
整除
的自然数的和是多少？
【分析】
<
/p>
在
1~100
这
100
个自然数中，
能被
9
整除的自然数依次为
9
、
18
、
27
、
……、
98
、
99
，
(9
99)
[(99
9)
9
< br>1]
594
2
即在
1~100
这
100
个自然数中，所有能被
9
整除的自然数的和为
594
。
9
18
<
/p>
27
……
<
/p>
98
99
<
/p>
【例
12
】
在
不大于
100
自然数中，所有不能被
9
整除的自然数的和是多少？
【分析】
在
不大于
100
的自然书中，
< br>能被
9
整除的自然数依次为
0<
/p>
、
9
、
……、<
/p>
98
、
18
、<
/p>
27
、
99
，<
/p>
0
9
18
27
……
98
99
(0
99)
[(99
0)
9<
/p>
1]
594
2
(0
<
/p>
100)
[(100
< br>
0)
1
1]
5050
2
所
以
在
不
大
于
100
的
自
然
数
中
，
所
有<
/p>
不
能
被
9
整
除
的
自
然
数
的
和
为
5050
594
4456
。
0
1
2
3
……
98
99
100
【例
13
】
在
1~
200
这
200
个自然数中，所有能被
4
整除或被
11
整除的自
然数的和是多少？
【分析】
在
1~
200
这
200
个自然数中，
能被
< br>4
整除的自然数依次为
4
、
8
、
12
、
……、
196
、
20
0
，
(4
200)
[(200
4)
4
< br>
1]
5100
2
在
1~
200
这
200
个自然数中，
能被
11
整除的自然数依次为
11
、
……、
187<
/p>
、
33
、
22<
/p>
、
4
8
12
……
196
200<
/p>
198
，
<
/p>
11
22
<
/p>
33
……
<
/p>
187
198
(11
198)
< br>
[(198
11)
11
1]
1881
2
在
1~
200
这
200
个自然数中，既能被
4
整除又能被
11
整除的自然数，
即能被
[4,11]
44
整除的自然数依次为
44
< br>、
88
、
132
、
176
，
44
88
132
176
(44
176)
[(176
44)
44
1]
440
2
在
1~
200
这
200
个自然数中，所有能被
4
整
除或能被
11
整除的自然数的和为
<
/p>
5100
1881
440
6541
。
5
【例
14
】
求
1~100
这
100
个自然数中，所有加
4
以后能
被
5
整除的数之和。
【分析】
（
方法一）加
4
之后能被
5
整除的数也就是被
5
除余
1
的数。
1~100
< br>的自然数被
5
除余
1
的数依次为
1
、
6
、
11
、……、
91
、
96
这是
一个首项为
1
，公差为
5
的等差数列，
(1
96)
[(96
1)
5
1]
970
2
所以
1~100
这
100
个自然数中，所有加
4<
/p>
以后能被
5
整除的数之和为
970
。
（方法二）
5
~104
所有自然数能被
5
整除依次为
5
、
10
、
15
、……、
95
、
100
<
/p>
1
6
11
……
91
96
(5
100)
<
/p>
[(100
5)
5
1]
1050
2
所
以
1
~
1
0
这
0
100
个
自
然
数
中
，
所
有
加
4
以
后
能
被
5
整
< br>除
的
数
之
和
为
。
2
0
4
9
7
5
10
15
……
95
100
1
0
5
0
复杂计算
【例
15
】
有
一数列
1
、
2009
、
2008
< br>、
1
、
2007
、
2006
、
1
、
2005
、
2004
、
1
、……，从第
3
个数起，每个数都等于它前面
2
个数
中大数减小数的差。求这个数列前
2009
项
< br>的和。
【分析】
将
这个数列分组如下：
（
1
、
2009
、
2008
）
，
（
1
、
2007
、
< br>2006
）
，
（
1
、
2005
、
）
，……
2004
、
2009
3
669
2
，最后
一个数为第
670
组的第
2
个数，
每一组的第
2<
/p>
个数构成公差为
2
的等差数列，末项为
2009
(
670
1)
(
2)
671
；
(671
< br>
2009)
[(2009<
/p>
671)
1
1]
67
0
1
17
94930
2
或每一组的第
1
、
3
个数的和等于这
组的第
2
个数，
这个数列前
2009
项的和为
(2
009
671)
< br>670
2
< br>1795600
2
这个数列前
2009
项的和为
1795600
670
179
4930
。
前
670
组的和为
(2009
2007
671
)
2
【例
16
】
在
练习口算时，
小朱按照正整数的顺序
从
1
开始求和，
当加到某个数时，
和为
1300
。
验
算时发现，她重复加了一个数。请问这个多加一次的数是多少？
【分析】
设
加的最后一个正整数为
n
（
n
Z
）
如果没有多加，则所有的数的和为
1
2
3
< br>
n
n
(
n
1
)
2
n
(<
/p>
n
1)
n
(
n
1)
1300
≤
n
；所以
n
(
n
1)
2600
≤
n
(
n
3)
2
2
因为
50
51
2550<
/p>
、
51
52<
/p>
2652
；所以
n
≤
50
；
因为
49
5
2
2548
、
50
53
2650
；所以
n
≥
50
；
所以最后一个正整数
n
50
。<
/p>
6
所以这个多加一次的数为
1300
50
(50
1)
25
。
2
【例
17
】
在
练习口算时，
小朱按照正整数的顺序
从
1
开始求和，
当加到某个数时，
和为
2009
。
验
算时发现，她少加了一个数。请问这个少加的数是多少？
【分析】
设
加的最后一个正整数为
n
（
n
Z
）
如果没有少加，则所有的数的和为
1
2
3
< br>
n
(
n
1)
n
(
n
1)
n
≤
2009
2
2
所以
n
(
n
1)<
/p>
≤
4018
n
(
n
1)<
/p>
n
n
(
n
1)
2
因为
62
63
3906
、
63
64
4032
；所
以
n
≤
63
；
因为
62
63
3906
、
63
64
4032
；所以
n
≥
63
；
< br>所以最后一个正整数
n
63<
/p>
。
所以这个少加的数为
63
(63
1)
2009
7
。
2
【例
18
】
盒
子里放有
3
只乒乓球，一位魔术师第
1
次从盒子里拿出一只球，将它变成<
/p>
3
只球
后放回盒子里；第
2
次从盒子里拿出
2
只球，将
每只球各变成
3
只球后放回盒子
里；<
/p>
……；
第
10
次
从盒子里拿出
10
只球，
将每只球各变
成
3
只球后放回到盒子里。
这时盒子里
共有多少只乒乓球？
【分析】
一
只球变成
3
只球
，实际上多了
2
只球。
第
1
次多了
2
1
只球，第
2
次多了
2
2
只球，……，第
10
次多了
2
10
只球。
最
后
盒
子
里
有
3
<
/p>
……
(
2
……
1
(
2
2
1
只
<
/p>
2
1
0
2
乒乓球。
【例
19
】
（
2008
年第七届
< br>“小机灵杯”
数学竞赛三年级初赛）
有若干根长度相等的
火柴棒，
把这些火柴摆成如图所示的图形。照这样摆下去，到第
10
行为止一共用了
____________
根火柴。
【分析】
从
上往下看看，分别数一下每次用了多少根火柴棒，来找出规律：
到第
1
行为止需要
1
1
根横放的火柴、
2
根竖放的火柴；
到第
2
行为止需要
1
< br>2
2
根横放的火柴、
2
3
根竖放的火柴；
到第
3
行为
止需要
1
2
3
3
根横
放的火柴、
2
3
4
根竖放火柴；……；
到第
10
行为止需要
1
2
3<
/p>
2
3
10
11
9
10
10
(1
10)
10
10
65
根横放的火柴
、
2
(2
1
1)
10
65
根竖放的火柴；
2
7
<
/p>
所以到第
10
行为止一共用了
65
65
130
根火柴。
到第<
/p>
n
行为止需要
1
2
3
<
/p>
火柴、
2
<
/p>
3
n
(
n
1)
[2
(
n
1)]
n
n
(
n
3)
根竖放的火柴；
2
2
n
(
n
3)
n
(
n
3)
。
< br>
n
(
n
3)
根火柴（
< br>n
Z
）
2
2
(
n
1)
<
/p>
n
n
(1
n
)
n
n
(
n
3)
根横放的
n
2
2
所以到第
n
行为止一共用
了
【例
20
】
（
2008
年北京“数学解题能力展示
”读者评选活动中年级组复赛）小张将一些同
样大小的正方形纸片摆放在桌上。第一次在
桌上中间放
1
个纸片（如图一）
；第二
次在这个正方形纸片四周再放一圈纸片（如图二）
；第三次再在
第二次的基础上再
放一圈纸片
（如图三）
；
……如此下去，
一共十次，
那么它
用了正方形纸片
______
个。
【分析】
从
上往下看或从左往右看，分别数一下每次用的正方形纸片的个数，来找出规律：
第
1
次用了正方形
纸片
1
个，第
2
次用了正方形纸片
1
3
1
个，
第
3
次用了正方形纸片
1<
/p>
3
5
3
1
个，……，第
10
次用了正方形纸片
1
3
< br>
5
7
9
11
13
15
17
19
17
15
13
11
9
7
<
/p>
5
3
1
(1
3
5
7
9
< br>
11
13
< br>
15
17)
2
19
< br>
(17
< br>1)
2
1
2
19
181
个。
2
图一 图二
图三
第
n
次
用
了
正
方
形
纸
片
1
3
5
(2
n
1)
5
< br>
3
1
2
n
2
2
n
1
个
（
n
Z
）
。
【例
21
】
如
图所示，
每个最小的等边三角形的面
积是
12
平方厘米，
边长是
1
根火柴棒。
如果
最大的
三角形共有
8
层，
请问最大三角形的面
积是多少平方厘米？整个图形由多少
根火柴棍摆成？
【分析】
从
上往下看看，
分别数一下前几层有多少个三角形，
用了多少根火柴棒，
来找出规
8