考点1 等差数列的判定与证明
-
考点
2
等差数列的判定与证明
1
．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一
项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
等
差
数
列
，
这
个
常
数
叫
做
等
差
数
列<
/p>
的
公
差
，
公
差
通
常
用
字
母
d
表
示
。
用
递
推
公
式
表
示
为
a
n<
/p>
a
n
1
d
(
n
2)
或
a
n
1
< br>
a
n
d
(
n
1
)
．
2.
等差数列的通项公式
已知等差数列
a
n
的首项是
a
1<
/p>
，公差是
d
，求
a
n
．
∴
a
2
a
1
d
，
a
3
a
2
d
< br>
a
1
2
d
，
a
4
a
1
3
d
，……
所以，该等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
<
/p>
1)
d
．
3.
等差中项
若
a
，
b
，
c
三个数按这个顺序排列成
等差数列<
/p>
，那么
b
叫
a<
/p>
，
c
的等差中项
4.
等差数列的前
n
< br>项和公式
Q
由等差数列的定义：
a
2
a
1
d
，
a
3<
/p>
a
2
d
，
a
4
a
3
d
，……
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n<
/p>
1
)
d
S
n
na
1
2
2
公式二又可化成式子：
S
n
d
2
d
n
(
a
1
)
n
2
2
，当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
5.
性质：
等差数列
{an}
中，公差为
d
，
若
d
＞
0
，则
{an}
是递增数列；
若<
/p>
d=0
，则
{an}
是常数列；
若
d
＜
0
，则
{an}
是递减数列．
（
1
）
a
n
是等差数列，若
m
n
p
q
<
/p>
a
m
a
n
a
p
a
q
a
1
a
n
<
/p>
a
2
a
n
1
…
a
r
a
n
r
1
（
2
）若
p
，
q
，
r
成等差数列，
a
p
，
a
q
，
a
r
也成等差数列。
（
3
）公差为
d
的等差数列
a
n
中，其子系列<
/p>
a
k
，
a
k
m
，
a
k
2
m
，…
(
m
< br>
N
)
也
成等差数列，且公差为
md
。
（
4
）公差为
d
的等差数列
a
n
中，连续相同个数的
项的和也成等差数列，
即
S
m
，
S
2
m
S
m
< br>，
S
3
m
S
2
m
，
…也成等差数列，其公差为
m
2
d
。
6.
充要条件的证明：
a
n
1
a
n
d
2
a
<
/p>
a
a
n
n
2
n
1
a
n
dn
< br>
c
（关于
n
< br>的一次函数）
2
S
n
an
bn
（
a
、
b
为常数，是关于
n
的常数项
a
n
为等差数列
为
0
的二次函数）
d
0
递增数列
d
0
常数列
d
0
递减数列
考法
1
等差数列的判定和证明
（
1
）定义法：对于
n
》<
/p>
=2
的任意自然数，
a
< br>n
-a
n-1
为同一个常数
（
2
）等差中项
法：
2a
n-1
=a
< br>n
+a
n-2
判定
（<
/p>
3
）通项公式法
判定
（
4<
/p>
）前
n
项和公式法
:Sn=An
2
+Bn
判定
考法
2
等差数列的基本运算
等差数列
{a
n
}
中，
a
和
d
是基本的两个量，可以确定等差数列的通项公式和前
n
项和公式，与等差数列有
1
关的基本计算问题，主要围绕着
通项公式和前
n
项和公式，在两个公式中共有五个量：
a
1
、
d
，
n
，
a
< br>n
，
s
n
例
1
：
(2013
浙江
)( 14
分
)
在公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
中，
已知
a
1
＝
1
0
，且
a
1,
2
a
2
＋
2,
5
a
3
成等比数列．
< br>
(1)
求
d
< br>，
a
n
；
(2)
若
d
＜
0
，求
|
a
1
|
＋
|<
/p>
a
2
|
＋
|
a
3
|
＋…＋
|
a
n
|.
例
2
：
(2013
四川
)(
本小
题满分
12
分
)
在等比数列
{an}
中，
a2
－
a1
＝
2
，且
2a2
为
3a1<
/p>
和
a3
的等差中项，
求数列
{an}
的首项、公比及前
n
项和．
考法
3
等差数列的性质（首项、项数、公差）
例
3
：在等差数列
{
a
n
}
中，
< br>a
2
=1
，
a
4
=5,
则
{
a
n
}
的前
5
项和
S
5
=B
A.7 B.15
C.20 D.25
(
二
)
解题方法指导
例
1
．
< br>设
{
a
n
}
是等差数列，前
n
项和为
S
n
.
(1)
已知
a
6
=5
，
a
3
+
a
8
=5
，求
a
9
；
(2)
已知
a
1
+
a
2
+
< br>a
3
＝
15
，
a
1
a
2
a
3
＝
80
，求
a
11
+
a
12
+
a<
/p>
13
；
(3)
已知
a
10
=
10
，
S
10
=70
，求公差
d
；
< br>
(4)
已知
S
3
=9
，
S
< br>6
=36
，求
a
7
+
a
8
+
a
9
．
例
2
．
已知两
个等差数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的前
n
项
和分别为
A
n
和
B
n
，且
正整数
n
的个数是
(
)
(A)2
a
A
n
7
n
4
5
，则使
n
得为整数的
B
n
b
n
n
3
(B)3
(C)4
(D)5
4<
/p>
x
例
3
．
已知函数
f
(
x
)
x
:
4
2
(
Ⅰ
)
若
< br>x
1
+
x
2
=1
，求
f
(
x
1
)+
f
(
x
2
)<
/p>
的值；
(
Ⅱ<
/p>
)
设
a
n
f
(
n
)
，求数列
{
a
n
}
的前
2010
项的和．
2011