2.2等差数列(拓展)
-
2.2
等差数列（拓展）
要点一、等差数列的基本概念和公式
对于数列
{
a
n
}
，
若
a
n
a
n
1
d
(
n
N
，
n
2
< br>,
d
为常数
)
< br>或
a
n
1
a
n
d
(
n
N
*
，
d
为常数
)
，则此数列是等差数列，其中常数
d
叫做等差数列的公差。
如果
a
，
A
< br>，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即
A
a
b
2
.
*
首相为
a
1
，公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
a
1
(
n
1)
d
< br>(
n
N
)
或
a
n
a
m
(
n
m
)
d
.
要点二、等差数列的性质
等差数列<
/p>
{
a
n
}
中，公差为
d
，则
①若
m
,
n<
/p>
,
p
,
q
N
，且
m
n
p
q
,
< br>则
a
m
a
n
a
p
a
q
，
特别地，当
m
n
2
p
时
a
m
a
n
2
a
p
.
②下标成公差为<
/p>
m
的等差数列的项
a
k
，
a
k
m
，
a
k<
/p>
2
m
，…组成
的新数列仍为等差数列，公
差为
md
.
③若数列
b
n
也为等差数列，
则
a
n
b
n
，
ka
n
b
，
（
k
，
b
为非零常数）
也是等差数列
.
④
a
1
a
2
a
3
,
a
4
a
5<
/p>
a
6
,
a
7
a
8
a
9
,
……
仍是等差数列
.
⑤数列
a
n
+
b
（
，
b
为非零常数）也是等差数列
.
【典型例题】
类型一：等差数列的性质的应用
例<
/p>
1
已知等差数列
{
a
n
}
中，若
a
3
a
8
a
13
<
/p>
12
,
a
3
a
8
a
13
28
,
求
{
a
n
}
的通项公式。
解：∵
a<
/p>
3
a
13
2
a
8
，∴
a
3
a
8
a
13
3
a
< br>8
12
即
a
8
4
,
a
3
a
13
8<
/p>
a
3
1
a
3
7
代入已知，有
,
解得
或
，
a
3
a
13
7
< br>a
13
7
a
13
1
当
a
3
1
,
a
13<
/p>
7
时，
d
a
13
a
3
7
1
3
3
3
4
，∴
< br>a
n
a
3
(
n
3
)
n
；
13
3
10
5
5
5
5
当
a
3
7
< br>,
a
13
1
时，
d
a
13
a
3
1
7<
/p>
3
3
44
,
∴
a
n
n
13
3
10
5
5
5
1
【变式】等差数列
{
a
n
}
中，
< br>a
1
a
4
a
7
15
，
a
2<
/p>
a
4
a
6
45
，求数列的通项公式
< br>.
解：因为
a
1
a
7
< br>2
a
4
a
2
a
6
，所以
a
1
a
4
a
7
3
a
4
15
，所以
a
4
5
.
于是
a
2
a
6
10
且
a
2
< br>a
6
9
.
故
a
2
，
a
6
是方程
x
10
x
9
0
的两根
.
所以
2
a
2
1
a
2
9
，或
a
6
9
a
6
1
若
a
2
1
且<
/p>
a
6
9
，则
d
2
，所以
a
n
2
n
3
.
同理可得
a
2
9
时，
a
n
13
2
n
；
所以
a
n<
/p>
2
n
3
或
a
n
13
2
n
.
例
2
若关于
x
的方程
x
x
m
0
和
x
x
n
0
（
m
< br>，
n
R
且
m
n
）
的四个根组成
首项为
2
2
1
的等差数列，求
m
n
的值
.
4
2
2
解：设
x
x
m
0
的两根为
x
1
，
x
2
；
x
x
n
0
的两根为
x
3
，
< br>x
4
，则
x
1
x
2
x
3
<
/p>
x
4
1
，不妨设数列的首项为
x
1
< br>，则数列的第
4
项为
x
2
，
3
1
1
3
< br>1
1
1
1
1
所以
x
1
，
x
2
<
/p>
；公差
d
4<
/p>
4
，所以中间两项为
< br>
，
2
.
4
4
4
6
4
6
3<
/p>
6
3
5
7
所以
m
x
1
x
2
，
n
x
< br>3
x
4
16
12
12
3
5
7
31
所以
m
n
.
16
12
1
2
72
n
*
例
3
已知数列
a
n
的首项
a
1
3
，通
项公式为
a
n
2
p
nq
（
n
N
，<
/p>
p
，
q
为常数）
，
且
a
1
，
a
4
，
a
5
成等差数列，求
p
，
q
的值
.
解：由
a
1
3
，得
2
p<
/p>
q
3
.
①
因为
a
1
，
a
4
，
a
5
成等差数列，所以
2
a
4
a
1
a
5
.
4
5
又因为
a
4
2
p
4
q
，
a
5
2
p
5
q
，
所以
3
2
p
5
q
2
p
8
q
.
②
5
5
2
由①②得
p
q
1<
/p>
.
故所求
p
，
q
的值都是
1
.
总结：若等差数列
a
n
的公差为
d
，则
①
d
a
n
a
m
*
*
（
m
，
n
N
，
m
<
/p>
n
）
；
②
a
n
a
m
(
n
m
)
d
（
m
，
n
N
）
；<
/p>
n
m
*
③若
m
n
p
q
，
m
，
< br>n
，
p
，
q
N
，则
a
m
a
n<
/p>
a
p
a
q
，
*
特别地，当
m
n
2
p
，
m
，
n
，
p
N
时，有
a
m
a
n
2
a
p
.
【
变式
1
】等差数列
< br>a
n
中，
a
1
3
a
8
a
15
120
，则
2
a
9
a<
/p>
10
（
）
A.20
B.22
C.24
D
.
－
8 <
/p>
解：因为
a
1
3
a
8
a
15
5
a
8
120
，所以
a
8
24
，
而
2
a
9
a
10
a
10
a
8
< br>
a
10
a
8
24
.
故选
C.
【变式
2
】
中位数为
1010
的一组数构成等差数列，
其末项为
2015
，
则该数列的首项为
.
解：①若这组数有
(2
n
1)
个，则
a
n
1
1010
，
a
2
n
1
< br>2015
又
a
1
a
2
n
1
2
a
< br>n
1
，故
a
1
2
1010
2015
5
.
②若这组数有
2
n
个，则
a
n
a
n
1
< br>1010
2
2020
，
a
2
n
2015
又
a
1
a
2
n
a
n
a
n
< br>1
，故
a
1
2020
< br>2015
5
.
综上知，数列首项为
5
.
类型二、等差数列与一次函数的关系及应用
< br>由
a
n
a
1
(
n
1)
d
<
/p>
dn
(
a
1
d
)
知
a
n
是
n
的一次函数或常数函数
（
d
0
）
，
故
表示等差数列各项的点都在一条直线上
.
例
4
在等差数列
a
n
中，
a
m
n
，
a
n
m
（
m
n
）
，求
a
m
n
. <
/p>
解：
d
a
n
a
m
1
，
a
m
n
< br>
a
m
[(
m
n
)
m
]
d<
/p>
n
[(
m
n
)
m
]
d
0
n
< br>
m
例
5
已知
a
n
是等差数列，
a
4
< br>
15
，
a
7
27
，则过点
P
(3,
a
3
)
，
Q
(5,
a
5
)
的直线的斜率
为（
）
A.
4
B.
1
1
C.
4
D.
4
4
解：因为
a
n<
/p>
是等差数列，
a
n
可看作关于
n
的一次函数，其图像
是一条直线上等间隔的点
(
n
,
a
n
)
，因此过点<
/p>
P
(3,
a
3<
/p>
)
，
Q
(5,<
/p>
a
5
)
的直线斜
率即为过点
(4,
a
4
)
，
(7,
a
7
)
的直线斜率，
3