等差数列的前n项和(一)
-
2.2
等差数列的前
n
项和
(
一
)
[
学习目标
]
1.
掌握等差数列前
n
项和公式及其获取思路
.2.
经历公式的推导过程，体
会数形
结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观
察、
归纳、反思
.3.
熟练掌握等差数
列的五个量
a
1
，
d
，
n
，
a
n
，
S
n
的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点一
数列前
n
项和的概念
< br>
把
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
叫数列
{
a
n
}
的前
n
项和，记做
S
n
.
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
－
1
＝
S
n
－
1
(
n
≥
2)
．
思考
由
S<
/p>
n
与
S
n
－
1
的表达式可以得出
S
n
－
S
n
－
1
n
≥
2
a
n
＝
< br>.
S
1
<
/p>
n
＝
1
知识点二
等差数列前
n
项和公式、推导和认识
n
a
1
＋
a
n
1
．公式：若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
可以用首项
a
1
< br>和末项
a
n
表示为
S
n
＝
.
< br>
2
2
．若首项为
a
1
，公差为
d
，
1
则
S
n
可以表示为
S
n
＝
na
1
＋
n
(
n
< br>－
1)
d
.
2
3
．推导：
< br>(
方法：倒序相加法
)
过程：
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
，
S
n
＝
a
n
＋
a
n
－
1
＋…＋
a
1
，
∵
a
1
＋
a
n
＝
a
2
＋
a
n
－
1
＝…＝
a
n
＋
a
1
< br>，
∴
2
S
n
＝
n
(
a
1
＋
a
n
)
，
n
a
1
＋
a
n
< br>∴
S
n
＝
.
2
4
．
从函数角度认识等差数列的前
n
项和公式
(1)
公式的变形
n
n
－
< br>1
d
d
2
d
S
n
＝
na
1
＋
＝<
/p>
n
＋
(
a
1
－
)
n
.
2
2
2
(2)
从函数角度认识公式
①当
d
≠
0<
/p>
时，
S
n
是项数
n
的二次函数，且不含常数项；
②当
d
＝
0
时，
S
n
＝
na
1
，不是项数
n<
/p>
的二次函数．
(3)
结论及其应用
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
An
2
＋
Bn
＋
< br>C
，
若
C
＝
0
，则数列
{
a
n
}
为等差数列；
若
C
< br>≠
0
，则数列
{
a
n
}
不是等差数列．
思考
等差数列<
/p>
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
3
＝
6
，
a
1
＝
4
，则公差
d
等于
(
)
A
．－
2
C
．
1
答案
A
解析
<
/p>
S
3
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
3
a
2
＝
6
，
∴
a
2
＝
2
，<
/p>
又
a
1
＝
4
，
∴
d
＝－
2.
知识点三
等差数列前
n
项和的性质
S
n
d
1
．若数列
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列，则数列
n
也是等差数列，且公差为
.
2
1
B
．－
3
D
．
3
< br>2
．若
S
m
，
S
2
m
，
S
3
m
分别
为
{
a
n
}<
/p>
的前
m
项，前
2
m
项，前
3
m
项的和，则
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
－
S
2
m
也成等差数列，公差为
m
2
d
.
a
n
S
2
n
－
1
3
．设两个等差数列
{
a
n
}
，
{
b<
/p>
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，则
＝<
/p>
.
b
n
T
2
n
－
1
4
．若等差数列的项数为
2
n
，则
S
2
n
＝
n
(<
/p>
a
n
＋
a
n
＋
1
)
，
S
偶
a
n
＋
1
S
偶
－
S
奇
＝
nd
，
＝
.
S
奇
a
n
5
．若等差数
列的项数为
2
n
＋
1
，则
S
2
n
＋
1
＝
(
2
n
＋
1)
a
n
＋
1
，
S
偶
n
S
偶
－
S
奇
＝－
a
n
＋
1
，
＝
.
S
奇
n
＋
1
思考
等差数列
{
a
n
}
的前
m
项
和为
30
，前
2
m
项和为
100
，则它的前
3
m
项和是
_____
___
．
答案
210
解析
设
{<
/p>
a
n
}
的前
3
m
项和是
S
，
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
< br>S
3
m
－
S
2
m
分别为
30,70
，
S
－
< br>100.
由性质知
30,70
，
S
－
100
成等差数列．
∴
2
×
70
＝
30
＋
(
S
－
100)
，
∴
S
＝
210.
题型一
与等差数列
S
n
有关的基本量的计
算
例
1
在等差数列
{
a
n
}
中．
5
3
(1)
a
1
＝
，
a
n
＝－
，
S
n
＝－
5
，求
n
和
d
.
6
2
(2)
a
1
＝
4
，
S
8
＝
172
，求
a
8
< br>和
d
.
5
3
(
n
a
1
＋
a
n
6
－
2
)
解
(1)
由题意得，
S
n
＝
＝
＝－
5
，解得
n
＝
15.<
/p>
2
2
5
3
1
又
a
15
＝
＋
(15
－
1)
d
＝－
，
∴
d
＝－
.
6
2
6
1
∴
n
＝
15
，
d
＝－
.
6
8
a
1
＋<
/p>
a
8
8
4
＋
a
8
(2)
由已知得
S
8
＝
＝
＝
172
，
2
2
解得
a
8
＝
39
，
又
∵
a
< br>8
＝
4
＋
(8
－
1)
d
＝
39
，
∴
d
＝
5.
∴
a
8
＝
39<
/p>
，
d
＝
5.
反思与感悟
a
1
，
d
，
n
称为等差数列的三个基本量，
a
n
和
S
n
都可以用这三个基本量来表示，
五个量
a
1
，
d
，
n
，
a
n
，
S
n
中可知三求二，一般通过通
项公式和前
n
项和公式联立方程
(
组
)
求
解，在求解
过程中要注意整体思想的运用．
跟踪训练
1
在等差数列
{
a
n
}
中；
(1)
< br>已知
a
6
＝
10
，
S
5
＝
5
，求
a
8
和
S
10
；
(2)
已知
a
3
＋
a
15
＝
40
，求
S
17
.
5<
/p>
×
4
S
5
＝
5
a
1
＋
2
d
＝
5
，
解
(1)
解得
a
1
＝－
5
，
d
＝
3.
a
6
＝
a
1
＋
5
d
＝
10
，
∴
a
8
＝
a
6
＋
2
d
＝
10
＋
2
×
3
＝
16
，
10
×
9
S<
/p>
10
＝
10
a<
/p>
1
＋
d
＝
10
×
(
－
5)
＋
5
×
9
×
3
＝
85.
2
(2)
S
17
＝
17
×
a
1
＋
a
17
< br>17
×
a
3
＋
a
15
17
×
40
＝
＝
＝
340.
2
2
2
题型二
等差数列前
< br>n
项和性质的应用
例
2
(1)
设
S
n
是等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和，已知
a
2
＝
3
，
a
6
＝
11
，则
S
7
等于
(
)
A
．
13
B
．
35
C
．
49
D
．
63
<
/p>
S
n
7
n
a
5
(2)
等差数列
{
a
n
}
与
{
b
n
}
的前
n
项和分别是<
/p>
S
n
和
T
n
，已知
＝
，则
等于
(
)
T
n
n
＋
3
b
5
2
70
21
A
．
7
B.
C.
D.
3
13
4
S
n
(3)
已知数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
< br>n
＝
2
n
＋
1(
n
∈
N
*
)
，其前
n
项和为
S
n
，则数列
{
}
的前
10
项
n
的和为
< br>________
．
答案
(1)C
(2)D
(3)75
7
7
7
解析
(1)
S
7
＝
(
a
1
＋
a<
/p>
7
)
＝
(
a
2
＋
a
6
)
＝
(3
＋
11)
＝
49.
2
2
2
a
1
＋
a
< br>9
2
a
5
S
9
7
×
9
21
(2)
＝
＝
＝
＝
.
<
/p>
b
5
b
1
＋
b
9
T
9
9
＋
3
4
2
n
3
＋
2
n
＋
1
(3)
∵
S
n
＝
＝<
/p>
n
(
n
＋
2)
．
2
S
n
S
n
∴
＝
n
＋
< br>2
，数列
{
}
< br>是以首项为
3
，公差为
1
的等差数列，
n
n
10
×
9
S<
/p>
n
∴
{
}
的前
10
项和为
10
×
3
＋
×
1
＝
75.
n
2
反思与感悟
等差数列前
n
项和运算的几种思维方法
(1)
整体思路：利用公式
S
n
＝
n
a
1
＋
< br>a
n
，设法求出整体
a
1
＋
a
n
，再代入求解．
2
(2)
待定系数法：利用
S
n
是关于
n
的二次函数，设<
/p>
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
≠
0)
，列出方程
组求出
A
，
S
n
S
n
B
即可
，或利用
是关于
n
的一次函数，设
＝
an
＋
b
(
a
≠
0)
进行计算．
n
n
(3)
利用
S
n<
/p>
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
成等差数列进行求解．
跟踪训练
2
(1)
设等差数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
若
S
3
＝
9
，
S
6<
/p>
＝
36
，
则
a
7
＋
a
8
＋
a
9
等于
(
)
A
．
63
B
．
45
C
．
36
D
．
27
答案
B
解析
由
{<
/p>
a
n
}
是等差数
列，得
S
3
，
S
6
－
S
3<
/p>
，
S
9
－
S
6
为等差数列，即
2(
S
6
－
S
3
)
＝
S
3
＋
(
S
9
－
S
6
)
，
得到
S
9
－
S
6
＝
2
S
6
－
3
S
3
＝<
/p>
45
，即
a
7<
/p>
＋
a
8
＋
a
9
＝
45.
(2)
已知两个等差数列
< br>{
a
n
}
与
{
b
n
}
的前
n
(
n<
/p>
>1)
项和分别是
S
n
和
T
n
，且
S
n
∶
T
n
＝
(2
n<
/p>
＋
1)
∶
(3<
/p>
n
－
a
9
2)
，求
的值．
b
9