高三一轮复习等差数列及其前n项和
-
等差数列及其前
n
项
和
突破点一
等差数列的基本运算
1.
理解等差数列的概念．
2.
掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式．
3.
能在具
体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．
4.
了解等差数列与一次函数的关系
[
基本知识
]
1
．
等差数列的有关概念
(1)
定义：如果一个数列从第
< br>2
项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差<
/p>
数列．符号表示为
a
n
< br>＋
1
－
a
n
＝
d
(
n
∈
N
*
，
d
为常数
)
．
(2)
等差中项：数列
< br>a
，
A
，
b
成等差数列的充要条件是
A
＝
2
．
等差数列的有关公式
< br>
(1)
通项公式：
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
< br>1)
d
.
(2)
前
n
项和公式：
S
n
＝
na
1
＋
n
n
－
1
n
a
1
＋
a
n
d
＝<
/p>
.
2
2
[
基本能力
]
一、
判断题
(
对的打
“√”
，错的打
“×”
)
(1)<
/p>
若一个数列从第
2
项起，每一项与它的前
一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
(
)
(2)
数列
{
a
n
}
为等差数列的充要条件是对任意
n
∈<
/p>
N
*
，都有
2<
/p>
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
n
＋
2
.(
)
(3)
等差数列
{
a
n
}
的单调性是由公差
d
决定的．
(
)
(4)
数列
{
a
n
}
为等差数列的充要条件是其通项公式为
n
的一次函数．
(
)
答案：
(1)
×
(2)
√
(3)
√
(4)
√
二、填空题
1
．若
m
和
2
n
的等差中项为
4,2
m
和
n
的等差中项为
5
，则
m
与
n
的等差中项是
________
．
答案：
3
2
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
3
，
a
3
＋
a
4
＝
9
，则
a
< br>1
a
6
的值为
< br>________
．
答案：
14
3
．已知
{
a
n
}
是等差数列，且
a
3
＋
a
9
＝
< br>4
a
5
，
a
2
＝－
8
，则该数列的公差是
________
．
答案：
4
4
．在等差数列
{
a
n
}
中，已知
d
＝
2
，
S
100
＝
10 000
，则
S<
/p>
n
＝
________.
答案：
n
2
[
典例感悟
]
1
．
(2018·
全国卷Ⅰ
)
记
S
< br>n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
3
S
3
＝
S
2
＋
< br>S
4
，
a
1
＝
2
，则
a
5
＝
(
)
A
．－
12
B
．－
10
1
a
＋
b
，其中
A
叫做
a
，
b
的等差中项．
2
C
．
10
D
．
12
解析：
选
B
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，由
3
S
3
＝
S
2
＋
S
4
，得
3(3
a
1
＋
3
d<
/p>
)
＝
2
a
1
＋
d
＋
4
a
1
＋
6
d
，即
3
< br>a
1
＋
2
d
＝
0.
将
a
1
＝
2
代入
上式，解得
d
＝－
3
< br>，故
a
5
＝
a
1
＋
(5
－
1)
d
＝
2
＋
4
×
(<
/p>
－
3)
＝－
10
.
2
．已知等差数列
{
a
n
}
为递增数列，其前<
/p>
3
项的和为－
3
，前
3
项的积为
8.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
S
n
. <
/p>
解：
(1)
设等差数列
< br>{
a
n
}
的公差为
d
，
d
>0
，
∵等差数列
{
a
n
}
< br>的前
3
项的和为－
3
，前
3
项的积为
8
，
3
a
1
＋
3
d
＝－
3
，
a
1
＝
2
，
a
1
＝－<
/p>
4
，
∴
∴
或
a
1
a
1
＋
d
a
1
＋
2
d
＝
8
，
d
＝－
3
d
＝
3.
∵
d
>0
，∴
a
1
＝－
4
，
d
＝
3
，∴
a
n
＝
3
n
－
7.
(2)
∵
a
n
＝
3
n
－
7
，∴
a
1
＝<
/p>
3
－
7
＝－
4
，
n
－
4
＋
3
n
－
7
< br>
n
3
n
－
11
∴
S
n
＝
＝<
/p>
.
2
2
[
方法技巧
]
解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
< br>1
与
d
是最基本的两个量，一般
可设出
a
1
和
d
，利用等差数列的通项公式和前
n
项
和
公式列方程
(
组
)
求解即可．
(2)
与等差数列有关的基本运算问题，
主要围绕着通项公式
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－<
/p>
1)
d
和前
n<
/p>
项和公式
S
n
＝
n
a
1
＋
a
n
＝
na
1
2
n
n
－
1
＋
d
，在两个公式中共涉及五个量：
a
1
，
d
，
n
，
a
n
，
S
n
，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程
< br>2
(
组
)
可求出剩余的两个量．
[
针对训练
]
a
n
1
．
已知数列
<
/p>
n
是等差数列，且
a
3
＝
2
，
a
9
＝
12
，则
a
15
＝
(
) <
/p>
A
．
10
C
．
40
B
．
30
D
．
20
a
n
解析：
选
B
法一：
设数列
n
是公差为
d
的等差数列，
a
9
< br>a
3
12
2
2
1
a
15
a
3
∵
a
3
＝
2
，
a
9
＝
12
，∴
6
d
＝
－
＝
－
＝
，∴
d
＝
，
＝
＋
12
d
＝
< br>2.
故
a
15
< br>＝
30.
9
3
9
3
3
9
15
3
a
n
a
9
a
3
a
15
a<
/p>
15
12
2
法二
：
由于数列
n
是等差数列，故
2
×
＝
＋
，即
＝
2
×
－
＝
2
，故
a
15
＝
30.
9
3
< br>15
15
9
3
< br>
2
．
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊
三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”
(
“钱”是古代一种质量单位
)
，在这
个问题中，甲得
________
钱．
(
)
2
5
A.
3
4
C.
<
/p>
3
3
B
．
2
5
D
．
4
解析：
选
C
甲、乙、丙、丁、
戊五人所得钱数依次设为成等差数列的
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4<
/p>
，
a
5
，设公差
为
d
，由
2
a
＋
d
＝
2
，
5
题意知
a
＋
a
＝
a
＋
a
＋
a
＝
，即
2
5
3
a
＋
9
d
＝
，
2
1
1<
/p>
2
3
4
5
1
5
a
＝
3
，
解得
1
d
< br>＝－
6
，
1
4
4
故甲得
钱，故选
C.
3
3
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
n
∈
N
*
，满足
a
1
＋
a
2
＝
10
，
S
5
＝
< br>40.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
|13
－
a
n
|
，求数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和
T<
/p>
n
.
解：
(1
)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
< br>，
由题意知，
a
1
＋
a
2
< br>＝
2
a
1
＋
d
＝
10
，
S
5
＝<
/p>
5
a
3
＝
40
，即
a
3
＝
8
，所以
a
1
＋
2
d
＝
8
，
a
1
＝
4
，
所以
所以
a
n
＝
4
＋
(
n<
/p>
－
1)·
2
＝<
/p>
2
n
＋
2. <
/p>
d
＝
2
，
(2)
令
c
n
＝
13
－
a
n
＝
11
－
2
n
，
11
－
2
n
，
n
≤
5
，
b
n
＝
|
c
n
|
＝
|11
－
2
n
|
＝
2
n
< br>－
11
，
n
≥
6
，
设数列
{
c
n
}
的前
n
项和
为
Q
n
，则
Q
n
＝－
n
2<
/p>
＋
10
n
. <
/p>
当
n
≤
5
时，
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
< br>b
n
＝
Q
n
＝－
n
2
＋
10
n
.
当
n
≥
6
时，
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
n
＝
c
1
< br>＋
c
2
＋
…
＋
c
5
－
(
c
6
＋
c
7
＋
…
＋
c
n
)
＝－
Q
n
＋
2
Q
5
＝
n
2
－
10
n
＋
2(
－
5
2
＋
10
×
5)
＝
n
2<
/p>
－
10
n
＋
50.
突破点二
等差数列的性质及应用
[
基本知识
]
等差数列的常用性质
(1)
通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
＋
(<
/p>
n
－
m
)
d
(
n
，
m
∈
N
*
)
．
(2)
若
{
a
n
}
为等差数列，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
< br>＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈
N
*
)
．
(3)
若
{
a
n
}
< br>是等差数列，公差为
d
，则
a<
/p>
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，…
(
k
，
< br>m
∈
N
*
)
是公差为
md
的等差数列．
(4)
数列
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
< br>－
S
2
m
，…
(
m
∈
N
*
)
也是等差数列，公差为
m
2
d
.
(5)
S
2
n
－
1
＝
(2
n
－
1)
a
n
，
S
2
n
＝
n
(
a
1
＋
a
2<
/p>
n
)
＝
n
(
a
n
＋
a
n
＋
1
)
，遇见
S
奇
，
S
偶
时可分别运用性质及有
关公式求解．
a
n
< br>S
2
n
－
1
(6)
若
{
a
n
}
，
{
b
n
}
均为等
差数列且其前
n
项和为
S
n
，
T
n
< br>，则
b
＝
.
< br>n
T
2
n
－
1
S
n
1
(7)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
n
也是等差数列，其首项与
{
a
n
}
的首项相同，公差是
< br>{
a
n
}
的公差的
.
2
< br>
(8)
若等差数列
{
a
n
}
的项数为偶数<
/p>
2
n
，则
①
S
2
n
＝
n
(
a
1
＋
a
2
< br>n
)
＝…＝
n
< br>(
a
n
＋
a
n
＋
1
)
；
3
S
奇
a
n
②
S
偶
－
S
奇
＝
nd
，
＝
.
S
偶
a
< br>n
＋
1
(9)
< br>若等差数列
{
a
n
}
的项数为奇数
2
n
＋
1
，则
①
S
2
n
＋
1
＝
(2
n
＋
1)
a
< br>n
＋
1
；②
S
奇
n
＋
1
＝
.
n
S
偶
[
基本能力
]
1
．在等差数列
< br>{
a
n
}
中，
a
3
＋
a
7
＝
37
，
则
a
2
＋
a<
/p>
4
＋
a
6
＋
a
8
＝
________.
解析：
依题意，得
a
2
＋
a
4
＋
a
6
< br>＋
a
8
＝
(
a
2
＋
a
8
)
＋
(
a
4
＋
a
6
)
＝
2(
a
3
＋
a
7
)
＝
74.
答案：
74
2
．设
{
a
n
}
是递增等差数列，前三项的和为
12
，前三项的积为
48
，则它的首项是
_
_______
．
答案：
2
3
．在等差数列
{
a
n
< br>}
中，
3(
a
< br>3
＋
a
5
)
＋
2(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)
＝<
/p>
24
，则该数列前
13
< br>项的和是
________
．
答案：
26
[
全析考法
]
考法一
等差数列的性质
[
例
1]
<
/p>
(1)
若数列
{
a
n
}
为等差数列，
< br>S
n
为其前
n
< br>项和，且
a
1
＝
2
a
3
－
3
，则
S
9
＝
(
)
A
．
25
C
．
50
B
．
27
D
．
54
(
2)
在等差数列
{
a
< br>n
}
中，若
a
< br>1
，
a
2 019
为方程
x
2
－
10
x
＋
16
＝
0
的两根，则
a
2
＋
a
1
010
＋
a
2
018
＝
(
)
A
．
10
C
．
20
B
．
15
D
．
40
[
解析
]
<
/p>
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
< br>d
，
a
1
＝
2
a
3
－
3
＝
2
a
1
＋
4
d
－
3
，
∴
a
5
＝
< br>a
1
＋
4
d
＝
3
，
S
9
＝
9
a
5
＝
27.
(2
)
因为
a
1
，
a
2 019
为方程
< br>x
2
－
10
x
＋
16
＝
0
的两根，所以
a
1
＋
a
2
019
＝
10.
由等差数列的性质可知，
a
1 010
＝
a
1
＋
a
2 019
＝
5
，
a
2
＋
a
2 018
＝
a
1
＋
a
2 0
19
＝
10
，
2
所以
a
2<
/p>
＋
a
1
010
＋
a
2 018
＝
10
＋
5
< br>＝
15.
故选
B.
[
答案
]
(1)B
(2)B
[
方法技巧
]
利用等差数列的性质求解问题的注意点
(1)
如果
{
a
n
}
为等差数列，
m
＋
n
＝
p
< br>＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a<
/p>
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈
N
*
)
．因此，若出现
a
m
－
n
，
a
m
，
a
m
＋
n
1
等项时，可以利用此性
质将已知条件转化为与
a
m
(
或其他项
)
有关的条件；若求
< br>a
m
项，可由
a
m
＝
(
a
m
－
n
＋
a
m
＋
n
)<
/p>
2
转化为求
a
m
－
n
，
a
m
＋
n
或
a
m
＋
n
＋
a
m
－
< br>n
的值．
(2)
要注意等差数列通项公式及前
n
项和公式的灵活应用
，
如
a
n
＝<
/p>
a
m
＋
(
n
－
m
)
d
，
d
＝
a
n
－
a
m
，
S
－
＝
(2
n
－
1
)
a
n
，
n<
/p>
－
m
2
n
1
4
S
n
＝
n
a
1
＋
a
n
n
a
2
< br>＋
a
n
－
1
＝
(
n
，
m
∈
N
*
)
等．
2
2
[
提醒
]
一般地，
a
m
＋
a
n
≠
a
m
＋
n
，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是
a
m
－
n
＋
a
m
＋
n
＝
2
a
m
.
考法二
等差数列前
< br>n
项和最值问题
等差数列的通项
a
n
及前
n
项和
S
n<
/p>
均为
n
的函数，通常利用二次函数法或通
项变号法解决等差数列前
n
项和
S
n
的最值问题．
[
例
2]
<
/p>
(2018·
全国卷Ⅱ
)
记
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，已知
a
1
＝－
7
，
S
3
＝－
15.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
求
S
n
，并求
S
n
的
最小值．
[
解
]
(1)
设
{
a
n
}
的公差为
d<
/p>
，
由题意得
3
a
1
＋
3
d
＝－
15.
又
a
1
＝－
7<
/p>
，所以
d
＝
2.
所以
{
a
n<
/p>
}
的通项公式为
a
n
＝
2
n
－
9.
(2)
法一：
< br>(
二次函数法
)
由
(1)
得
S
n
a
1
＋
a
n
n
＝
2
＝
n
2
－
8
n
＝<
/p>
(
n
－
4)
2
－
16
，
所以当
n
＝
4
时，
S
n
取得最小值，最小值为－
16.
法二：
(
通项变号法
)
由
(1)
知
a
n
a
1
＋
a
n
n
＝
2
n
－
9
，则
S
n
＝
2
＝
n
2
－
8
n
.
由
S
a
n
≤
0
，
n
最小
⇔
a
n
＋
1
≥
0
，
即
2
n
－
9
≤<
/p>
0
，
∴
7
9
2
n
－
7
≥
0
，
2
≤
n
≤
2
，
又
n
∈<
/p>
N
*
，∴
n
＝
4
，
此时
S
n
的最小值为<
/p>
S
4
＝－
16.
[
方法技巧
]
求等差数列前
n
项和
< br>S
n
最值的
2
< br>种方法
(1)
二次函数法
< br>利用等差数列前
n
项和的函数表达式
S
n
＝
an
2
＋
bn
，通过配方或借助图象求二
次函数最值的方法求解．
(2)
通项变号法
< br>①
a
d
<0
时，满足
< br>a
m
≥
0
，
1
>0
，
的项数
m
使得
S
a
n
取得最大值为
S
m
m
＋
1
≤
0
；
②当
a
时，满足
a
m
≤
0<
/p>
，
1
<0
，
d
>0
的项数<
/p>
m
使得
S
a
n
取得最小值为
S
m
.
m
＋
1
≥
0
[
集训冲关
]
1.
[
考法一
]
设
S
n
为公
差不为零的等差数列
{
a
S
n
}
的前
n
项和，若
S
9
＝
3
a
8
，则
15
3
a
等于
(
)
5
5
A
．
15
C
．
19
B
．
17
D
．
21
解析：
选
A
因为
S
9
＝<
/p>
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
9
＝
9
a
5
＝
3
a
8
，即
3
a
5
＝
a
8
.
又
S
15
＝
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
15
＝
15
a
8
，所以
S
15
15
a
8
＝
＝
15.
3
a
5
a
8
2.
[
考法一
]
在项数为
2
n
＋
1
的等差数列
{<
/p>
a
n
}
中，
所有奇数项的和为
165
，
所有偶数项的和为
150
，
则
n
等于
(
)
A
．
9
C
．
11
B
．
10
D
．
12
n
＋
1
<
/p>
a
1
＋
a
2
n
＋
1
n
a
2
＋
a
2
n
，
S
偶
＝
.
2
2
解析：
选
B
∵等差数列有
2
n
＋
1
项，∴
S
奇
＝
又
a
1
＋
a
2
n<
/p>
＋
1
＝
a
2
＋
a
2
n
，∴
S
偶
n
150
10
＝
＝
＝
，∴
n
＝
10.
S
奇
n
＋
1
165
11
3.
[
考法二
]
等差数列
{
a
n
}
中，
S
n
为前
n
项和，且<
/p>
a
1
＝
25
，
S
17
＝
S
9
，请问：数列前多少项和最大？
解：
法一：
∵
a
1
＝
25
，
S
17
＝
S
9
，
∴
17
a
1
< br>＋
17
×
16
< br>9
×
8
d
＝
9
a
1
＋
d
，解得
d
＝
－
2.
2
2
a
n
＝
25
－
2
n
－
1
≥
0
，
∵
a
1
＝
25>0
，由
得
a
＝
25
－
2
n
≤
0
，
n
＋
1
1<
/p>
n
≥
12
2
.
1
n
≤
13
，
2
∴当
n
＝
13
时，
S
n
有最大值．
法二：
∵
a
1
＝
25
，
S
17
＝
S
9
，
∴
17
a
1
＋
17
×
< br>16
9
×
8
d
＝
9
a
1
＋
d
，
<
/p>
2
2
解得
d
＝－
2.
从而
S
n
＝
25
n<
/p>
＋
n
n
－
1
(
－
2)
＝－
n
2
＋
26
n
2
＝－
(
n
－
13)
2
＋
169.
故前
13
项之和最大．
突破点三
等差数列的判定与证明
[
典例
]
<
/p>
各项均不为
0
的数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
1
a
n
＋
a
n
＋
2
1
＝
a
n
＋
2
a
< br>n
，且
a
3
＝
2
a
8
＝
.
2
5
1
(1)
证
明数列
a
是等差数列，并求数列
{
a
n
}
的通项公式；
<
/p>
n
(2)
若数
列
{
b
n
}<
/p>
的通项公式为
b
n
＝
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2
n
＋
6
1
1
1
2
[
解
]
(1)
证明：
依题意，
a
n<
/p>
＋
1
a
n
＋
a
n
＋
2
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
2
a
n
，
两边同时除以
a
< br>n
a
n
＋
1
a
n
＋
2
，
可得
＋
a<
/p>
＝
，
故数列
<
/p>
a
n
a
n
＋
2
n
a
n
＋
1
1
1
1
1
1
1
是等差数列，设数列
a
的公差为
d
.
因为
a
3
＝
2
a
8
＝
，所以
＝
5
，
＝
10
，所以
－
＝
5
＝
< br>5
d
，即
d
＝
1
，所
5
a
3
a
8
a
8
a
3
n
6