计数原理
-更把双眉比月长
第三章
计
数
原
理
第一节：加
法
原
理（一）
【教学内容】
：
认识加法原理
【教学目
的】
：
初步认识加法原理，并运用加法原理解决简单的实际问题
。
【教学重难点】
：
理解加法原理
【例题精讲】
：
例
1
从桂
林到长沙，可乘火车也可乘汽车，还可乘飞机。如果某天中，从
桂林去长沙有
5
趟火车，
4
班汽车和<
/p>
3
班飞机，那么这一天中由桂林去长沙可以
有多少种不同走法？
分析
一天
中从桂林去长沙有乘火车、
乘汽车和乘飞机三类不同形式。
第一
类
办法乘火车有
5
种不同走法，
第二类办法乘汽车
4
班中任选其一有
4
种走法，
第
三类乘飞
机有
3
种不同走法，不管采取哪类形式中任何一种方法都可以到
达长
沙。一天中从桂林到长沙共有
5
＋
4
＋
3=12
种不同走法，解决上述问题运用了加
法原理。
解：
5
＋
4
＋
3=12
（种）
答
：一天中由桂林去长沙可以有
12
种不同走法。
加
法原理
：完成某一件事可以有几类方法，第一类方法中有
m
种不同方法；
第二类方法有
m
种不同方法、
、
、
、
、
、在第
N
类方法中有
m
种不同方法，那么
完成这件事共有
N
=
m
＋
m
＋、
、
、
、
、
、＋
m
种不同的
方法。
【巩固练习】
：
1
、学校开展读书活动，小明要从
5
本故事书、
2
本文艺书、
7
本科技书中任
意选取一本书，共有多少种不同的选法？
< br>
小结：
加法原理是把完成一件事的方法分成几类，
每一类中的任何一种方法
都能完成任务，所以完成任务的不同方法数
等于各类方法数之和。
例
2
：
某职业中学有
3<
/p>
个专业，农机专业
3
个班，家庭经营专业
2
个班，畜
牧专业
4
个班，现在派一个班参加公益劳动，有几种不同的派法？
分析
<
/p>
选派一个班参加公益劳动有三类办法：第一类办法是从农机专业
3
个班
中任选一个班，
有
3
种办法；
第二类办法是从家庭经营专业
2
个班中选派一个班
有
2<
/p>
种办法；
第三类办法是从畜牧专业
4
个班中任选一个班，
有
4
< br>种办法。
根据
加法原理将这三类方法数相加。
3
＋
2
＋
4=
9
（种）
答：有
9
种不同的派法。
【巩固练习】
：
1
、从武汉到南京去有
2
班火车、
3
班汽车、
2
班飞机、
1
班轮船，请问：从武汉
到南京去一共有多少种不同走法？
2
、小明到图书馆去借书，
他喜欢的书有：
3
种故事书、
4
种科技书、
5
种文艺书，
他只能借其中的一种，请问他有多少种不同的选择
方法？
3
、甲、乙、丙三个班，甲班
42
人，乙班
50
人，丙班
40
人，如果从三个班中共
同选出一名同学在学校的晨会上发言，有多少种不同选法？
（参考答案：
1
、
8
< br>种
2
、
12<
/p>
种
3
、
132
种）
第二节：加
法
原
理
（二）
【教学内容】
：
运用加法原理解决实际
问题
【教学目的】
：
在掌握加法原理的基础上，运用所学知识解决一些实际的问题
【教学重难点】
：
1
、找加法
原理的分类标准
2
、对所学知识的综合运用
【例题精讲】
：
例
1
：
旗杆上最多可以挂两面信号
旗，现有红色、蓝色、黄色的信号旗各一
面，如果用信号旗表示信号最多可以表示多少种
信号
?
分析
根据挂信号旗的面数分为两类：
第一
类挂一面信号旗有：
红色、
蓝色、
黄色
，共
3
种；第二类挂两面信号旗有红蓝、红黄、蓝红、蓝黄、黄
红、黄蓝共
3
种，所以一共有
3
＋
3=6
种不同的挂法。
3
＋
3=6
（种）
答
：用这些信号旗最多可以表示
6
种信号。
【巩固练习】
：
1
、用
2
、
< br>4
、
8
这三个数字最多可以写出
多少个没有重复数字的数？
例
2
：
在下图中从
A
点沿实线走最短路径到
B
点，共有多少
条不同路线？
分析
题目要求从
A
点到
B
点，
所以只能从左和从右两个方向走才能保证线
路最短。
例如图中
D
点
，
不是经过左边的
E
点就是下边的
F
点。
如果到
E
点有
a
种走法（
a=6
）
，到
F
点有
b
种走法（
b=4
）
，根据加法原理，到
D
点就有（
a
＋
b
< br>种走法（此处
6
＋
4=10
）
。我们可以从左下角
A
< br>点开始，按加法原理，依次向上、
向右填上到各点的走法数，最后得到共有
35
条不同的路线。
【巩固练习】
：
1
、中美小学四、五、六年级共订
300
< br>本少儿读本，每个年级至少订
99
本，问
一共有多少种不同订法？
2
、求一个三位数，使它各个数位上的数字之和都等于
21
。像这
样的三位数共
有多少个？
3
、在下图中从
A
点沿实线走最短路径到
B
点，共有多少条不同路线？
4
、如图，一只小虫从
A
< br>点出发沿着线段爬到
D
点，要求任何点和线段都不重
复经过。问：这只虫共有多少种不同走法？
A
B
C
D
参考答案：
1
、
10<
/p>
种
2
、
28
个
3
、
126
条
4
、
9
种
第三节
乘
法
原
理
（一）
【教学内容】
：
认识乘法原理
【教学目的】
：
初步
认识乘法原理，并运用乘法原理解决简单的实际问题
【教学重
难点】
：
理解乘法原理
【例题精讲】
：
例
1
：
从张村到王村有两条道路，
从王村到李村有
3
条道路。从张村经王村
到李村，共有多少种不同的走法？
张村
王村
李村
分析
从张村经王村到李村可以分两个步骤完成：
< br>第一步从张村到王村，
有
2
种走
法；第二步从王村到李村有
3
种走法，所以从张村经王村到李村
共有
2
×
3=
6
种走法，解决此题运用了乘法原理。
2
×
3=6
（种）
答：共有
6
种不同的走法。
乘法原理：
为了完成一件事，
< br>需要
n
个步骤。
做第一步有
m
种不同的方法，
做第二步有
m
种不同方法……
，
做第
n
步有
m
种不同方法。
完成这件事共有共
有
N=m
×
m
×……×<
/p>
m
种不同的方法。
【巩固练习】
：
1
、马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出
都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同的搭配？
2
、书架上有
15
本杂志书，有
12
本连环画，每次只能从书架上各挑选一本
书，一共有多少种不同的选发？
3
、
如图从
甲村去乙村有
3
条道路，从乙村到丙村有
2
条道路，从丙村到丁村
有
4
条道路。小红要从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？
甲村
乙村
丙村
丁村
<
/p>
例
2
：
用数字<
/p>
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
分析
组成一个三位数要分成三步进行：第一步确定百位上的数字，
除
0
以外有
5
种选择法；
第二步确定十位上的数字，
因为数字不可以重复除去
百位上
所用一个数字后还剩
5
中选择法
；
第三步确定个位上的数字，
除去百位、
十位所
用两个数字还剩
4
种不同选择
方法。
根据乘法原理，
可以组成没有重复数字的三
位数有
5
×
5
×
4=100
（个）
。
解
5
×
5
×
4=100
（个）
。
答
：可以组成
100
个没有重复数字的三位数。
< br>
小结：
从乘法原理可以看出
，将完成一件任务分成几个步骤做，是解决问
题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不
可的。
【
巩固练习
】
：
1
、用
0~9
这
10
个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
2
、由数字
1
、<
/p>
2
、
3
、
4
、
5
、
6
共可以组成多少个四位数（各位上的数字可以
重
复）？
3
、由数字
< br>1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
共可以组成多少个没有重复数字的
四位奇数
（各
位上的数字可以重复）？