小学奥数-长方体表面积与展开图(教师版)
-2017国剧盛典完整版
长方体表面积与展开图
长方体共有
6
个面（每个面都是长方形）
，
8<
/p>
个顶点，
12
条棱
.
在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合
的两个图形
称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）
< br>．
长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：
S
长方体＝
2
（
ab
＋
bc
＋
ac
）；
长方体的体积：
V
< br>长方体＝
abc
．
正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如
果它的棱长为
a
，那么：
S
正方体
=6a
，
V
正方体
=a<
/p>
．
【例
1
】
★
如下图，一
个边长为
3a
厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面
的中心位置挖
去一个截口是边长为
a
厘
米的正方形的长方体（都和对面打通）
．如果这个镂空的物体的表面积为
2592
平方厘米，试求正方形截口的边长．
【解析】
原来正方体的表面积为：
<
/p>
6
×
3a
×
3a
＝
6
×
9a
（平方厘米）．
六个边长为
a
的小正方形的面积为：
6
×
a
×
a
＝
6a
（平方厘
米）；
挖成的每个长方体空洞的侧面积为：
3a
×
a
×
4
＝
12a
（平方厘米）；
三个长方体空洞重叠部分的校长为
a
的小正方体空洞的表面积为：
a
×
a
×
4
＝
4a
（平方厘米）．
根据题意：
6
×
9a
－
< br>6a
＋
3
（
12a
－
4a
）＝
2592
，
化简得：
54a
－
6a
＋
24a
＝
2592
，解得
a
＝
36
（平方厘米），故
a
＝
6
厘米．
即正方形截口的边长为
6
厘米．
< br>
【例
2
】
★★
有一些相同尺寸的正方体积木，
准备在积木的各面上粘
贴游戏所需的字母和数目字．
但
全部积木的表面总面积不够用，
还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木
的各面面积的总和增加一倍
．
【解析】把每一块积木锯三次。
【例
3
】
★★
一个长方体，前面和上面的面积之和是
209
< br>平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以
厘米为单位的数，且都是质数．问这个长
方体的体积和表面积各是多少
?
【解析】要求长方体的体积和
表面积，就要求出长方体的长、宽、高．因为这个长方体的前面和上
面的面积之和是
209
平方厘米，也就是长×宽
+
长×高
=
长×(宽
+<
/p>
高
)=209
．根据已知条件，长、宽、
高都是质数，我们把
209
分解质因数
得到
209=
11×19．在
11
和
19
中，只有
1
9
可分拆为
2
与
17
两
个质数的和．这样，我们可以确定长方体的长、宽、高
分别是
11
、
2
、
17
或者
11
、
17
、
2
．由此可
求得长方体的表面积和体积．
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
3
【例
4
】
★★
如图
11-3
，一个正方体形状的木块，棱长
l
米，沿水平方向将它锯成
3
片，每片又锯
成
4
长条，每
条又锯成
5
小块，共得到大大小小的长方体
60
块．那么，这
60
块长方体表
面积的和
是多少平方米
?
【解析】
我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的<
/p>
2
个面的面积．
现在一共切了
(3-1)+(4-1)+(5-1)=9
刀，
而原正方体一个面的面积
1×l=
1(
平方米
)
，所以表面积增
加了
9×2×1=18(平方米
)
．
原来正方体的表面积为
6×1=6(平方米
)
，
所以现在的这些小长方体的表积之和为
6+18=24(
平方
米
< br>)
．
【小试牛刀】右图是
4
×
5
×
6
正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成<
/p>
红色的小正方体各有多少块？
【解析】
三面涂红色的只有
8
个顶点处的
8
个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共（
4-2
）×
4+
（
5-2
）×
4+
< br>（
6-2
）×
4=36
块；
一面涂红的表面中间部分：
（
4-2
）×（
5-2
）×
2+
（
4-2
）×（
6-2
）×
2+
（
5-2
）×（
6-2<
/p>
）×
2=52
块．
【例
5
】
★
边长为
1
厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到
第
5
层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
【解析
】图形所含块数的规律：第
1
层
1
块，第
2
层
3
块，第
3
层
6
块，第
4
层
10<
/p>
块，第
5
层
15
块，依次增加
2
、
3
、
4
、
5
…，当重叠到第
5
层时，该立体图形
的上下、左右、前后方向的表面面积
都是
15
< br>平方厘米，该图形的总表面积为
90
立方厘米。
【小试牛刀】把
1
9
个棱长为
1
厘米的正方体重叠在一起
，按右图中的方式拼成一个立体图形
.
求这
个立体图形的表面积．
【解析】从上下、左右、前后观察
到的的平面图形如下面三图表示．
因此，这个立体图形的表面积为：
2
个上面
+2
个左面
+2
个前面．上表面的面积为：
9
平方厘米，左
表面的面积为：
8
平方厘米，前表面的面积为：
10
平方厘米
．因此，这个立体图形的总表面积为：
（
9
＋
8
＋
10
）×
2
＝
54
（平方厘米）
．
【例
6
】
★★
图
2
—
36
< br>是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，标志为
1
的点与哪些点重合
?
【解析】在图
2
—
37
所示
的立方体上观察
8
个顶点，其中与
A<
/p>
点不在一个表面上的只有
B
点，也就
是说，沿着表面走，这两个点的路程最远．在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所
构成
的长方形的对角线上的两个端点．
解题过程：
1
、
2
、
6
点
都距
9
点最远，也就是说，
1
、
2
、
6
点都与
9
点不在一个表面上·而与
< br>9
点不
在一个表面上的只有一个点，所以，
1
、
2
、
< br>6
点是同一个点，即折叠成纸盒时，
1
< br>、
2
、
6
三点重合．
【例
7
】
★★
下图是正方体的
11<
/p>
种展开图和
2
种伪装图（即它们不是正方
体的展开图）．请你指出
伪装图是哪两个？
【解析】
无论哪一个图中都有六个小
正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合