初中数学总结大全及数学符号
-
第一章
实数
★重点★
实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
一、
重要概念
1
．数的分类及概念
数系表：
说明：
“
分类
”
的原则：
1
）相称（不重、不漏）
2
）有标准
2
．非负数：正实数与零的统称。（表为：
x≥0
）
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为
0
，则每个非负担数均为<
/p>
0
。
3
．倒数：
①定义及表示法
< br>②性质：
A.a≠1/a
（
a≠
±1
）
;B.1/a
中，
a≠0;C.0
＜
a
＜
1
时
1/a
＞
1;a
＞
1
时，<
/p>
1/a
＜
1;D.
积为
1
。
4
．相反数：
①定义及表示法
< br>②性质：
A.a≠0
时，
a≠<
/p>
-a;B.a
与
-a
在数轴上的位置
;C.
和为
0,<
/p>
商为
-1
。
5
．数轴：①定义（
“
三要素
”
）
规定了唯一的原点（
origin
），唯一
的正方向和唯一的单位长度的直线
叫数轴。所有的
实数
都可以用
数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。
画一条水平直线，
在直线上取一点表示
0
（叫做原点，
< br>origin
）
，
选取某一长度
作为
单位
长度
（
unit length
）
，
规定直
线上向右的方向为正方向（
positive
direction
），就得到右面的数轴。
利用数轴可以比较
有理数
的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。
意义
1
）
从
原点
出发朝正方向的
射线
< br>上的点对应
正数
，
相反方向的射
线上的点对应
负数
，
原点对应零。
2
）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。
3
）正数
都大于
0
，负数都小于
0
，正数大于一切负数。
数轴是一种特定
几何
图形；原点、
正方向
、
长度单位
称数轴的三要素，这三者缺一不可．
要素
把规定了唯一的原点，正方向，单位长度的一条直线叫做数轴
如果要在数轴上的点表示虚数
,
则需要
2
条数轴
组成
直角坐标系
.
而实数与虚数的和<
/p>
,
要表示在两
条数轴之外的二维平面上<
/p>
.
任何一
个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的数不都是有理数。
一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括
无理数
。应用
相反数
：
只有符号不同的两个数
互为相反数<
/p>
，其中的一个数叫做另一个数的相反数。
a
的相反
数是
-a
，
0
的相反数是
0
。
绝对值
：
在数轴上表示一个数的点离开原点的距离就叫做这个数的绝对值
一个正数的绝对值是它本身，一个
负数的绝对值是它的相反数。
0
的绝对值是
0
。
公式
/a/=?
如
a
大于
0
那么
a
的绝对值等于
< br>a
如
a
等于
0
那么
a
的绝对值等于
< br>0
如
a
小于
0
那么
a
的绝对值等于
< br>-a
有理数比较大小：
一切正数大于
0
，
0
大于一切负数，正数大于一切负数。
< br>
说明；数轴上右边的数总
比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。巧用数轴计算时间
数轴，用数轴上的一段表示全球的
经线，这条线段的两个端点表示
18
0°
经线
，线段的中点表示
0°
经线，这
样，全球所有地点的经度位置都可以表示在这条线段上。箭头方向代表地球自转方向，
因
此，从
0°
经线向东至
180°
经线是东经，最右边的时区是东十二区，时间最早；从
0°
经线向西至
180°
经线是西经，最左边的时区是
西十二区，时间最迟，东、西十二区刚好相差
24
小时。在这条
数
轴上，越往右边，时间越早，其数值越大，这与
数学
上数轴的含义是一致的。因此，如果已知图
1
中
乙地的时间，要求甲地的时间，甲地在乙地的右
边，用加法，即甲地时间等于乙地时间加
上甲、
乙两地的时差；反之，要求乙地的时间，乙地在甲地的左边，用减法，可以记成<
/p>
“
右加左减
”
，
同时，
由于数轴的方向代表地球自西向东的自转方向，从这个意义上来说，也可记成
“
东加西减
”
。这
样，将
加减法的选择和时间早晚与数轴的数学含义结合起来，就不易出错了。此外，用这
条线段的两个端
点来表示
180°
经线
，可以避免跨越日界线，从而使计算简化。
1
．数轴的概念
（
1
）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
这里包含两个内容：一是数轴的三
要素：原点、正方向、单位长度缺一不
可．二是这三个要素
都是
规定的．
（
2
）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点
表示，但数轴上的点所表示的数并
不都是有理数．
（
3
）数轴上表示有理数的点是不连续的，而无理数、有理数合在一起，才能填满整个数轴，所<
/p>
以数轴上的点和实数成一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。当然数轴上
的点不
都是有理数！
这涉及实数完备性问题，有理数不是完备的，即任何两个有理
数之间有间隙，而实数是完备的，
任何两个实数之间的数还是实数，所以我们称数轴上的
点与实数一一对应。
②作用：
A.
直观地比较实数的大小
;B.
明确体现绝对值意义
;C.
< br>建立点与实数的一一对应关系。
6
．奇数、偶数、质数、合数（正整数
—
< br>自然数）
定义及表示：
奇数：
2n-1
< br>偶数：
2n
（
n
为自然数）
7
．绝对值：①定义（两种）：
数轴上一个数所对应的点与
原点
的距离叫做
该数绝对值。绝对值只能为
非负
数
。<
/p>
代数定义：
|a|=a
（
a≥0
< br>）
|a|=-a
（
a≤0
）
几何定义：数
a
的绝对值顶的几何意义是实数
a
在数轴上所
对应的点到原点的距离。
②
│a│≥0,
符号
“││”
< br>是
“
非负数
”
< br>的标志
;
③数
a
的绝对值只有一个
;
④处理任何类型的题目，
只要其中有
“││”
出现，
其关键一步是去掉
“││”
符号。
二、
实数的运算
1
．
运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2
．
运算定律（五个
—
加法
[
乘法
]
交换律、结合律
;[
乘法对加法的
]
分配律）
3
．
运算顺
序：
A.
高级运算到低级运算
;B.<
/p>
（同级运算）从
“
左
”
到
“
右
”
（如
5÷
×
5
）
;C.(
< br>有括号时
)
由
“
小
”
到
“
中
”
到
“
大
”
。
三、
应用举例（略）
附：典型例题
1
．
已知：
a
、
b
、
x
在数轴上的位置如下图，求证：
│x
-
a│+│x
-
b
│
=b-a.
2.
已知
：
a-b=-2
且
ab<0
，（
a≠0
，
b≠0
），判断
a
、
b<
/p>
的符号。
第二章
代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
一、
重要概念
分类：
1.
代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式
。单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.
整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫
做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.
单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积
—
包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开
;
根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是
从
外形来看。如，
=x, =│x│
等。
4.
系数与指数
区别与联系：①从位置上看
;
②从表示的意义上看
5.
同类项及其合并
条件：①字母相同
;
②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.
根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断
;
②区别：
、
是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.
算术平方根
⑴正数
a
的
正的平方根（
[a≥0—
与
“
平方根
”
的区别
]
）
;
⑵算术平方根与绝对值
①
联系：都是非负数，
=│a│
②区别：
│a│
中，
a
为一切实数
;
中，
a
为非负数。
8.
同类二次根式、最简二次根式、
分母有理化
化为最简二次根式以后
，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式
;
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.
指数
⑴
(
—
幂，乘方运算
)
①
a
＞
0
时，
＞
0;
②
a
＜
0
时，
＞
0
（
n
是偶数），
＜
0
（
n
是奇数）
⑵零指数：
=1
（
a≠0
）
负整指数：
=1/
（
a≠0
,p
是正整数）
二、
运算定律、性质、法则
1
．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2
．分式的性质
⑴基本性质：
=
（
m≠0
）
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义
;
②化简方法（两种）
3<
/p>
．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4
．幂的运算性质：①
·
=
②
÷
=
③
=
④
=
;
⑤
技巧：
5
．乘法法则：⑴单
×
单
;
⑵单
×
多
< br>;
⑶多
×
多。
< br>
6
．乘法公式：（正、逆用）
（
a+b
）
（
a-b
）
=
(a±
b) =
7
．除法法则：⑴单
÷
单
;
⑵多
< br>÷
单。
8
．因式分解：⑴定义
;
⑵方法：
A.
提公因式法
;B.
公式法
;C.
十字相乘法
;D
.
分组分解法
;E.
求根公式法。
9
．算术根的性质：
＝
; (a≥0,b≥0);
(a≥0,b
＞
0)(
正用、逆用
)
10
．根式
运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）
;
⑵乘、除法法则
;
⑶分母有理化：
A. B. C.
11
．科学记数法：
（
1≤a
＜
10,n
是整数＝
三、
应用举例（略）
四、
数式综合运算（略）
第三章
统计初步
★重点★
☆
内容提要☆
一、
重要概念
1.
总体：考察对象的全体。
2.
个体：总体中每一个考察对象。
3.
样本：从总体中抽出的一部分个
体。
4.
样本容量：样本中个体的数目。
5.
众数：一组数据中，出现次数最
多的数据。
6.
< br>中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
二、
计算方法
1.
样本平均数：⑴
;
⑵若
，
，
…
，
,
则
(a
—
常数，
，
，
…
，
接近较整的常数
a);
⑶加权平均数：
;
⑷平均
数是刻
划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估
计越准确。
2
．
样本方差：
⑴
;
⑵若
,
,…, ,
则
（
a
—
接近
、
、
…
、
的平均数的较
“
整
”
的常数）
;
若
、
、
…
、
较
“
小
”
较
“
整
”
，
则
;
< br>⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体
方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3
．样本标准差：
三、
应用举例（略）
第四章
直线形
★
重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆
内容提要☆
一、
直线、相交线、平行线
1
．线段、射线、直线三者的区别与联系
从
“
图形<
/p>
”
、
“
表示法<
/p>
”
、
“
界限
”
、
“
端点个数<
/p>
”
、
“
基本性质
”
等方面加以分析。
2
．线段的中点及表示
3
．直线、线段的基本性质（用
“
线段的基本性质
”
论证
“
三角形两边之和大于第三边
”
）
4
．两点间的距离（三个距离：点
-
点
;
点
-
线
;
线
-
线）
5
．角（平角、周角、
直角、锐角、钝角）
6
．互为余角、互为补角及表示方法
7
．角的平分线及其表示
8
．垂线及基本性质（利用它证明<
/p>
“
直角三角形中斜边大于直角边
”
）
9
．对顶角及性质
10
．平行线及判定与性质（互逆）
（二者的区别与联系）
11
．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）
;
②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12
．定义、命题、命题的组成
13
．公理、定理
14
．逆命题
二、
三角形
分类：⑴按边分
;
⑵按角分
1
．定义（包括内、外角）
2
．三角形的边角关系：⑴角与角：
①内角和及推论
;
②外角和
;
③
n
边形内角和
;
④
n
边形外角和。⑵边与边：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3
．三角形的主要线段
讨论：①定义②
×
< br>×
线的交点
—
三角形的
×
心③性质
①
高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边
三角形
4
．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5
．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（
SAS<
/p>
、
ASA
、
AA
S
、
SSS
）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6
．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7
．重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线
;
⑵加倍中线
;
⑶添加辅助平行线
8
．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法
—
反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、
四边形
分类表：
1
．一般性质（角）
⑴内角和：
360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论
1
：顺
次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论
2
：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点
得矩形。
⑶外角和：
360°
2
．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法
:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形
;
梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形
→
平行四边形
→
矩形
→
正方形
┗
→
菱形
——↑
⑷对角线的纽带作用：
3
．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）
;
⑵中心对称（定义及性质）
4
．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论
1
、
2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5
．重要辅助线：①常连结四边形的
对角线
;
②梯形中常
“
平移一腰
”
、
“
平移对角线
”
、
“
作高
”
、
“
连结顶点和对腰
中点并延长与底边相交
”
转化为三角形。
6
．作图：任意等分线段。
四、
应用举例（略）
第五章
方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法
;
方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆
内容提要☆
一、
基本概念
1
．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
2
．
分类：
二、
解方程的依据
< br>—
等式性质
1
．
a=b←→a+c=b+c
2
．
a=b←→ac=bc
(c≠0)
三、
解法
1<
/p>
．一元一次方程的解法：去分母
→
去括号
→
移项
→
合并
同类项
→
系数化成
1→
解。
2
．
元一次
方程组的解法：⑴基本思想：
“
消元
”
⑵方法：①代入法
②加减法
四、
一元二次方程
1
．定义及一般形式：
2
．解法：⑴直接开平方法（注意特
征）
⑵配方法（注意步骤
—
推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左边
=0
）
3
．根的判别式：
4
．根与系数顶的关系：
逆定理：若
，则以
为根的一元二次方程是：
。
5
．常用等式：
五、
可化为一元二次方程的方程
1
．分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，
）
⑷验根及方法
2
．无理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，
）⑷验根及方法
3
．简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程
组都可用代入法解。
六、
列方程（组）解应用题
一概述
列
方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么
，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼
用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，
但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等
量关系给出），列方程。一般地，未知数个数
与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程）
，在由数学问题的
解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列
方程起着承前启后的作用。因此，列
方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1
．
行程问题（匀速运动）
基本关系：行程
=
⑴相遇问题
(
同时出发
)
：
速度×时间
+ =
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发
t
小时后，乙才出发，而后在
B
处追上甲，则
⑶水中航行：
;
2
．
配料问题：溶质
=
溶液
×
浓度
溶液
=
溶质
+
溶剂
3
．增长率问题：
4
．工程问题：基本关系：工作量<
/p>
=
工作效率
×
工
作时间（常把工作量看着单位
“1”
）。
5
．几何问题：常用勾股定理，
几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如，
“
多
”
、
“
少
”
、
“
增加了
”
、
“
增加为（到）
”
、
“
同时
”
、
“
扩大为（到）
”<
/p>
、
“
扩大了
”<
/p>
、
……
又如
，一个三位数，百位数字为
a
，十位数字为
b
，个位数字为
c
，则这个三位数
为：
100a+10b+c
，而不是
a
bc
。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如，
x
比
y<
/p>
大
3
，则
x-y
=3
或
x=y+3
或
< br>x-3=y
。又如，
x
与
y
的差为
3
，则
x-y=3
。五注意单位换算
如，
“
小时
”“
分钟
”
的
换算
;s
、
v
、
t
单位的一致等。
七、应用举例（略）
第六章
一元一次不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆
内容提要☆
1
．性质；
1.
性质
1
：如果
a>b,
那么
a±
c>b±
c
2.
性质
2
：如果
a>b
，
c>0
，那么
ac>bc(
或
a/c>b/c)
3.
< br>性质
3
：如果
a>b
，
c<0
，那么
ac
或
a/c
．一元一次
不等式的解、解一元一次不等式
6
．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表
示解集）
7
一元一次不等式的解集
将不等式化为
aχ>b
的形式
(1)
若
a
>0
，则解集为
χ>b/a
(2)
若
a<0
，则解集为
χ
1.
代数式大小的比较
:
（
1
）
利用数轴法
;
（
2
）
直接比较法
;
（
3
）
差值比较法
;
（
4
）
商值比较法
;
6.
不等式解集的表示方法：
（
1
）
用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是
一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：
x-
1≤2
的解集是
x≤3
。
（
2
）
用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，
用
数轴表示不等式的解集要注意两点：一是
定边
界线；二是定方向。
7.
一元一次不等式与一次函数的综合运
用：
一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。
8.
解一元一次不等式组的步骤：
（
1
）
求出每个不
等式的解集；
（
2
）
求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）
（
3
）
用代数符号语言来表示公共部分。
（也可以说成是下结论）
9.
几种常见的不等式组的解集：
（
1
）
关于
x
不等式组
{
x>a} {x>b}
的解集是：
x>b
（
2
）
关于
x
不等式组
{x≥a} {
x≤a} {x>a} {x <
br>对应 <
br>②作比例中项。 <
br>2
{
x
的解集是：
x>a
（
3
）
关于
x
不等式组
{
x>a} {x
的解集是：
a
（
4
）
关于
x
不等式组
{
x
的解集是空集。几种特殊的不等式组的解集：
（
1
）
关于
x
不等式（组）：
的解集为：
x=a
（
2
）
关于
x
不等式（组）：
的解集是空集。
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：
注意：①定理中
“
”
二字的含义
;
②平行
→
相
似（比例线段）
→
平行。
二、相似三角形性质
1
．对应线段
…;2
．对应周长
…;3
．对应面积
…
。
三、相关作图
①作第四比例项
;
四、证（解）题规律、辅助线
1
．
“
等积
”
变
“
比例
”
，
“
比例
”
找
“
相似
”
。
．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴
⑵
⑶
3
．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。<
/p>
4
．对比例
问题，常用处理方法是将
“
一份
”
看着
k;
对于等比问题，常用处理办法是设
“
公比
”
为<
/p>
k
。
5
．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）
“
抽
”
出来的办法
处理。
五、
应用举例（略）
第八章
函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
☆
内容提要☆
一、平面直角坐标系
1
．各象限内点的坐标的特点
2
．坐标轴上点的坐标的特点
3
．关于坐标轴、原点对称的点的坐
标的特点
4
．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1
．表示方法：⑴解析法
;
⑵列表法<
/p>
;
⑶图象法。
2
．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义
;
⑵使实际问题有
意义。
3
．画函数图象：⑴列表
;
⑵描点
;
⑶连线。
三、几种特殊函数
（定义
→
图象
→
性质）
1
．
正比例函数
⑴定义：
y=kx(k≠0)
或
y/x=k
。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①
k>0
，
…
②
k<0
，
…
2
．
一次函数
⑴定义：
y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（
0,b
）
—
与
y
轴的交点和（<
/p>
-b/k,0
）
—
与
x
轴的交点。
⑶性质：①
k>0,…
②
k<0,
…
⑷图象的四种情况：
3
．
二次函数
⑴定义：二次函数（
quadratic function<
/p>
）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为
f(x)=ax^2+bx+c(a
不为
0)
。其图像是一条主轴平行于
y
轴的抛物线。
二次函数（
quadratic function
）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为
f(x
)=ax^2+bx+c(a
不为
0)
。其图像是一条主轴平行于
y
轴的抛物线。交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [
仅限于与
x
轴即
y=0
有交点
A
（
x1
，
0
）和
B
（
x2
，
0
）的抛物线
,
即
b²
-4ac>=0]
；
由一般式变为交点式的步骤：
∵
x1+x2=-b/a x1x2=c/a
∴
y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a)
=a[
﹙
x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x
1)(x-x2)
重要概念：
a
，<
/p>
b
，
c
为常数，
a≠0
，且
a
决定函数的开口方向。
a>0
时，开口方向向上；
a<0
时，开口
方向向下。
a
的绝对值可以决定开口大小。
a
的绝
对值越大开口就越小
,a
的绝对值越小开口就越大
二次函数与
X
轴交点的情
况
当△
=b²-4ac>0
时
, <
/p>
函数图像与
x
轴有两个交点。
当△
=b²-4ac=0
时
,
< br>函数图像与
x
轴有一个交点。
当△
=b
²-4ac<0
时
,
函数图像
与
x
轴没有交点
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x
2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x
3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)
。
由此可引导出交点式的系数
a=y1/(x1*x2)
(y1
为截距
)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x
是自变量，
y
是
x
的二次函数
x1,x2=[-
b±(√(b^2
-4ac))]/2a
(
即
一元二
次方程
求根公式）（如上图）
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口
方向，再对称地描点）。
用配方法变为
，则
< br>顶点为（
h,k
）
;
对称轴为直线
x=h;a>0
时，开口向上
;a<0
时，开口向下。
⑶性质：
a>0
时，在对称轴左侧
…
，右侧
…;a
<0
时，在对称轴左侧
…
，右侧
…
。
4.
反比例函数
⑴定义：
或
xy=k(k≠0)
。
⑵图象：双曲线（两支）
—
用描点法画出。
⑶
性质：①
k>0
时，图象位于
…
，
y
随
x…;
②
k<0
时，图象位于
…
，
y
随
x
…;
③两支曲线无限接近于坐标轴但
永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1
．
用待定
系数法求解析式（列方程
[
组
]
求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应
充
分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：
2
．利用图象一次（正比例）函数、
反比例函数、二次函数中的
k
、
b;a
、
b
、
c
的符号。
六、应用举例（略）
第九章
解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆
内容提要☆
一、三角函数
1
．定义：在
Rt
△
ABC
中，∠
C=Rt
∠，
则
sinA= cosA= tgA= ctgA= .
2
．
特殊角的三角函数值：
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tgα /
ctgα /
平方
和关系
sin^2α
＋
cos^2α
＝
1
积的关系
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
商的关系
sinα/cosα
＝
tanα
＝
secα/c
scα
和角公式
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
sin(α+β+γ)=sinα
·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ
-
sinα·sinβ·sinγ
倍角公式，
半角公式
sin(2α)=2sinα·c
osα=2/(tanα+cotα)
sin(3α)=3sinα
-
4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60
-
α)
sin(α/2)=±√((1
-<
/p>
cosα)/2)
其他
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
（由泰勒级数得出）
sin x =
x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...
(-
∞
（级数展开）
（
sinx
）
'=cosx
（
导数
）
3
．
互余两
角的三角函数关系：
sin(90°
-
α)=cosα;…
4
．
三角函数值随角度变化的关系
5
．查三角函数表
二、解直角三角形
1
．
定义：已知边和角（两个，其中必有一边）
→
所有未知的边和角。
2
．
依据：①边的关系：
②角的关系：
A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1
．
俯、仰角：
2
．方位角、象限角：
3
．坡度：
4
．在两个直角三角形中，都缺解直
角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
第十章
圆
★重点★①圆的重要性质
;
②直线与圆、圆与圆的位置关系
;
③与圆有关的
角的定理
;
④与圆有关的比例线段定
理
。
☆
内容提要☆
一、圆的基本性质
1
．圆的定义（两种）
2
．有关概念：弦、直径
;
弧、等弧、优弧、劣弧、半圆
;
弦心距
;
等圆、同圆、同心圆。
3
．
“
三点定圆
”
定理
4
．垂径定理及其推论
5
．
“
等对等
”
定理及其推论
5
．
与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.
三种位置及判定与性质：
2.
切线的性质（重点）
3.
切线的判定定理（重点）。圆的
切线的判定有⑴
…
⑵
…
4
．切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.
五种位置关系及判定与性质：<
/p>
(
重点：相切
)
2.
相切（交）两圆连心线的性质定理
3.
两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.
相交弦定理
2.
切割线定理
五、与和正多边形
1.
圆的内接、外切多边形（三角形
、四边形）
2.
三角形的外接圆、内切圆及性质
3.
圆的外切四边形、内接四边形的
性质
4.
正多边形及计算
中心角：
内角的一半：
(
右图
)
（解
Rt
△
O
AM
可求出相关元素
,
、
等）
六、
一组计算公式
1.
圆周长公式
2.
圆面积公式
3.
扇形面积公式
4.
弧长公式
5.
弓形面积的计算方法
6.
圆柱、圆锥的侧面展开图及相关
计算
七、
点的轨迹
六条基本轨迹
八、
有关作图
1.
作三角形的外接圆、内切圆
2.
平分已知弧
3.
作已知两线段的比例中项
4.
等分圆周：
4
、
8;6
、
3
等分
九、
基本图形
十、
重要辅助线
1.
作半径
2.
见弦往往作弦心距
3.
见直径往往作直径上的圆周角
4.
切点圆心莫忘连
5.
两圆相切公切线（连心线）
6.
两圆相交公共弦
常见的初中数学公式
1
过两点有且只有一条直线
2
两点之间线段最短
3
同角或等角的补角相等
4
同角或等角的余角相等
5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9
同位角相等，两直线平行
10
内错角相等，两直线平行
11
同旁内角互补，两直线平行
12
两直线平行，同位角相等
13
两直线平行，内错角相等
14
两直线平行，同旁内角互补
15
定理
三角形两边的和大于第三边
16
推论
三角形两边的差小于第三边
17
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于
180°
18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余
19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21
全等三角形的对应边、对应角相等
22
边角边公理
(SAS)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23
角边角公理
(
ASA)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24
推论
(AAS)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25
边边边公理
(SSS)
有三边对应相等的两个三角形全等
26
斜边、直角边公理
(HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
(
即等边对等角）
31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并
且每一个角都等于
60°
34
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
< br>
35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形
36
推论
2
有一个角等于
60°
的等腰三角形是等边三角形
37
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半
38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40
逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形
43
定理
2
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的
垂直平分线
44
定理
3
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45
逆定理
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称<
/p>
46
勾股定理
直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^2=c^2
47
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a
^2+b^2=c^2
，那么这个三角形是直角三角形
48
定理
四边形的内角和等于
360°
49
四边形的外角和等于
360°
50
多边形内角和定理
n
边形的内角的和等于（
n-2
）
×
180°
51
推论
任意多边的外角和等于
360°
52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等
53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等
54
推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分
56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形
59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角
61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等
62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形
63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形
64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等
65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66
菱形面积
=
对角线乘积的一半，即
S=
（
a×
b
）
÷
2
67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形
68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形