数学起源
-
数学发展史
此书记录了世界初等数学的发展与变迁。可大体分为“数的出现”
、
“数字与符号的起源
与发展”
、<
/p>
“分数”
、
“代数与方程”
、
“几何”
、
“数论”与“
名著录”七大项，跨度千万年。可
让读者了解数学的光辉历史与发展。是将历史与数学结
合出的趣味百科读物。
数的出现
一、数的概念出现
人对于“数”的概念是与身俱来的。从原始人开始，人
就能分出一与二与三的区别，从
而，就有了对数的认识。而为了表示数，原始人就创造并
使用了一种古老却笨拙且不太实用
的方法——结绳计数。通过在绳子上打结来表示所指物
体的数量，而为了辨认数量，也就出
现了数数这一重要的方法。这一方法如今看来十分笨
拙，但却是人对数学的认识由零到一的
关键一步。从这笨拙的一步人们也意识到：对数学
的阐述必须要尽量得简洁清楚。这是一个
从那时开始便影响至今的人类第一个数学方面的
认识，这也是人类为了解数学而迈出的关键
性一步。
数字与符号的起源与发展
一、数的出现
很快，人类就又迈出了一大步。随着文字的出现，最原
始的数字就出现了。且更令人高
兴的是，人们将自己的认识代入了设计之中，他们想到了
“以一个大的代替多个小的”这种
方法来设计，而在字符表示之中，就是“进位制”
。在众多的数码之中，有古巴比仑的二十进
制数码、古罗马字符，但
一直流传至今的，世界通用的阿拉伯数字。它们告诉了我们：简洁
的，就是最好的。
而现在，又出现了“二进制数”
、
“三进制数”等低位进制数，有时人们会认为它们有些
过度的“简洁”
，使数据会过多得长，而不便书写，且熟悉了十进制的
阿拉伯数字后，改变进
制的换算也十分麻烦。其实，人是高等动物
，理解能力强，从古至今都以十为整，所以习惯
了十进制。
可是，不是所有的东西都有智商，而且不可能智商高到能明显区分
1-10
，却能通
过明显相反的方式表达两个数码。于是，人类创造了“二进制数”<
/p>
，不过它们不便书写，只适
用于计算机和某些智能机器。但不可否
认的是，它又创造了一种新的数码表示方法。
二、符号的出现
加减乘除〈＋、－、×
(
·
)
、÷
(
∶）
〉等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为
不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简
< br>
单，直到
17
世纪中叶才全部
形成。
法国数学家许凯在
1484
年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用
D
表示加法，
用
M
表示
减法。
这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的
《商业速算
法》
中，
他用
“＋”
< br>表示超过
,
用“－”表示不足。
1
、加号（
+
）和减号（
-
）
加减号“＋”
，
“－”
，
1489
年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，
但正
式为大家公认是从
1514
年荷兰数学家荷伊克开始。
到
1514
年，
荷兰的
赫克首次用
“＋”
表示加法，
用
“－”
表示减法。
1544
< br>年，
德国数学家施蒂费尔在
《整数算术》
中正式用
“＋”
和“－”表示加减，这两个符号逐渐被
公认为真正的算术符号，广泛采用。
2
、乘号（×、
·
）
乘号“×”
，英国数学家奥屈特于
1631
年提出用“
×”表示相乘。英国数学家奥特雷德
于
1631
年出版的
《数学之钥》
中引入这种记法。
据说是由加法符号＋变动而来，
因为乘法运
算是从相
同数的连加运算发展而来的。另一乘号“·
”是数学家赫锐奥特首创的。后来，莱布
尼兹认为“×”容易与“
X
”相混淆，建议
用“·
”表示乘号，这样，
“·
”也得
到了承认。
3
、除号（÷）
除法除号“÷”
，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：
”表示除或比<
/p>
.
也有人用分数线表示比，
后来有人把二
者结合起来就变成了
“÷”
。
瑞士的数
学家拉哈的著作
中正式把
“÷”
作为除
号。
符号
“÷”
是英国的瓦里斯最初使
用的，
后来在英国得到了推广。
除的本意是分，符号“÷”的中
间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”
。
至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普
遍采用的程度。
4
、等号（＝）
等号“＝”
，最初是
1540
年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使
用。
1591
年法国数学家韦
达在其著
作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。
分数
一、分数的产生与定义
人类历史上最早产生的数是自然数
（正整数）
，
以后在度量和均分时往往不能正好得到整
数的结果，这样就产生了分数。
一个物
体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“
1
”
。把单位“
1
”平均分成几份，表示
这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“
1
< br>”平均分成多少份的叫做分母，表
示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分
数单位。
分子
,
< br>分母同时乘或除以一个相同的数〔
0
除外〕
,
分数的大小不变
.
这就是
分数的基本性质
.
分数一般包括
:<
/p>
真分数
,
假分数
,
带分数
.
真分数小于
1.
假分数大于
1,
或者等于
1.
带分数大于
1
而又是最简分数
.
带分数是由一个整数和一个真分数组成的。
注意
：
<
/p>
①分母和分子中不能有
0
，否则无意义。
②分数中的分子或分母不能出现无理数（如
2
的平方根）
，否则就不是分数。
③一个最简分数的分母中只有
2
和
5
两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中<
/p>
只含有
2
和
5<
/p>
以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有
2
或
5
两个质因数也含有
2
和
5
以外的质因数那
么就能化成混循环小数。
（注：
如果不是一个最简分
数就要先化成最简分数再判断；分母是
2
或
5
的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他
质数的最简分数一定能化成纯循环小数）
二、分数的历史与演变
分数在我们中国很早就有了
,
最初分数的表现形式跟现在不一样。后来
,
印度出现了和我
国相似的分数表示法。再往后
,
阿拉伯人发明了分数线
,
分数的表示法就成为现在
这样了。
在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类
文化发明的初期，由于进行测量和均分的
需要，引入并使用了分数。
在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。
早在公元前
2100
多年，
古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是
60
的分
数。
公元前
1850
年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。
20
0
多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把
7
米长的一根绳子分成三
等份是不可能的，
因为找不到一个合适的数来表示它．
如果我们把它分成三等份，
每份是
3/7
米．像
3/7
就是一种新的数，我们把它叫做分数．
为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征．例如，一只西瓜四个人
< br>平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需
要——除法运算的需要而产生的．
最早使用分数的
国家是中国．我国春秋时代（公元前
770
年～前
476
年）的《左传》中，规
定了诸侯的都城大小：
最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小
的不可超过九分之一
。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说
明：分数在我国很
早就出现了，并且用于社会生产和生活。
《九章算术》
是我国
1800
< br>多年前的一本数学专著，
其中第一章
《方田》
里就讲了分数四
则算法．
在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所
以说中国有着悠久的历史，灿烂
的文化
。
几何
一、公式
1
、平面图形
正方形：
S
＝
a?
C
＝
4a
三角形：
S
＝
ah/2
a
＝
2S/h
h
＝
2S/a
平行四边形：
S
＝
ah
a
＝
S/h
h
＝
S/a
梯形：
S
＝
(a
＋
b)h/2 h
＝
2S/(a
＋
b) a
＝
2S/h
－
b
b
＝
2S/h
－
a
圆形：
S
＝∏
r? C
＝
2r
∏＝∏
d r
＝
d/2
＝
C
/
∏
/2r?
＝
S/
∏
d
＝
C/
∏
半圆：
S
＝∏
r?/2 C
＝∏<
/p>
r
＋
d
＝
5.14r
顶点数＋面数－块数＝
1
2
、立体图形
正方体：
V
＝
a?
＝
S
底·
a S
表＝
6a?
S
底＝
a?
S
侧＝
4a?
棱长和＝
12a
长方体：
V
＝
abh
＝
S
底·
< br>h S
表＝
2(ab
＋<
/p>
ac
＋
bc
）<
/p>
S
侧＝
2(a
＋
b)h
棱长
< br>和＝
4(a
＋
b
＋
h)
圆柱：
V
＝∏
r?h S
表＝
2
∏
r?
＋∏
r?h
＝
S
底（
h
＋
2
）
S
侧＝∏
r?h
S
底＝∏
r?
其它柱体：
V
＝
S
底
h
锥体：
V
＝
V
柱体
/3
球：
V
＝
4/3
∏
r? S
表＝
4
∏
r?
顶点数＋面数－棱数＝
2
数论
一、数论概述
人类从学会计数开始就一直
和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步
扩充，自然数被叫做正整数，
而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中
性数叫做
< br>0
。它们合起来叫做整数。
（现在，自然数的概念有了改
变，包括正整数和
0
）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种
运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相
减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不
一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数
进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类
—奇数和偶
数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许
多有趣和
复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究
和探索
。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论
。后来整数论又进一步发展，就叫
做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学
科。
二、数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，
但是直到十九世纪，这些研究成
果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说
还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，
许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，
比如求最大公约数、
勾股数组、
某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家
对于数论中一个最基本的问
题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、
倍数等一系列概念也已经被提