e最早的起源
-
e
最早的起源
一、
e
最早的起源，复利问题
《威尼斯商人》
里刻画了以
贪婪和狠心
而闻名的高利贷商人夏洛克。
其实这个历史背景是
地
理大发现带给欧洲繁荣以后
,
金融业
逐渐发展
,
高利贷引发了一系列的贷款问题。贷款自然会
带来利息问题
.
最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过
定期存款
，那
么你不难理解单利，假设三
年期定期存款的利率为
3.5%,<
/p>
你存入
100
元，那么三年后你取出来，
利息是
3.5%*3=10.5
元。利息跟本金将一并支付给你
。
（这里讨论
均不考虑利息税
）
稍微复杂一点的是按一定期限计算利息
的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按
年计算利息的方式，假设国债利率是<
/p>
3.5%
，那么你买了
100
元国债，每经过一年，便支付
3.5
元的利息，到
最后一年一并支付最后一次利息和本金。
乍看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以发现，后者的收益比前者高。因为后者的利
息是按年支付的，
当先收得利息之后，
立刻就可以把利
息拿来再次投资。
投资之后仍然会产
生利息。于是加起来，总收
益比前者要高。
这样就产生了复利的计算方法，
（我国民间叫
“
利滚利
”
）
，比如
按
10
年放出
6%
利息的贷
款
，
按
< br>年
计
算
复
利
，
那
么
对
于
每
一
元
前
，
第
一
年
末
得
到
1+0.06
，
第
二
年
末
得
到
(1+0.06)*(1+0.06),
第三年末总共得到
(1+0.06)*(1+0.06)*(1+0.06),....
不难看出
，对于每
一元钱，复利的计算公式是
S=(1+i)exp(n
)
其中
i
是复利率，
< br>n
是计息次数。
按这个公式计算，可以看到按
6%
这个利息率，
按年收复利的话，十年前的
1
元钱会变成
10
年后的
1.79
元。
复利可以按年计算，也可以按月计算，甚至
按天计算。
如果年复利率不变，月利率就是年
利率
/12
，日利率就是年利率
/365.25
我们仍按上面公式计算一下，
S=
（
1+5%%
）
^120=1.819
S=(1+0.0001644)^3652.5=1.822
< br>总的趋势是：
随着计息间隔的缩小，本利和在加大
。那么
，有些贪心的夏洛克就在想了，
假如在理论上，
我可以
让复利的计息间隔缩短到
1
小时，
1
分钟，
1
秒种，
甚至是每个瞬间，
（理论上）的，那我会怎么样？
我们可以得到一个对任意计息间隔适用的一般的公式：
S=(1+i/t)^n*t
=>
S=((1+i/t)^t)^n
在这里，
t
代表一年内计多少次利息
？
n
代表经过
多少年？
i
仍然代表年复利率。
(1+i/t)^t)
这个式子不难用换元法转换到（
1+1/x
）
^xi
.....(x=t/i)
的形式。
那么，关键是求出，当
n
趋向于无穷大
时，
y(x)=(1+1/x)^x
是多少？它会是无限的吗？
能填满大大小小的夏洛克们永不餍足的胃口吗？
很遗憾，计算出来这个值，你也猜到了，就是我们的主角<
/p>
e,
也就是说，复利并不会随着计
息间隔
的无限缩小而膨胀到无穷，
而是会在某一点稳定下来，
这个神奇
的极限就是自然对数
的底：
e.
这里
的
e
是一个数的代表符号，而我们要说的，便是
e
的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，
这
个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的
重要数字
，除了众人皆
知的
0
< br>及
1
外，
大概就只有和圆有关的
π
了，
了不起再加上虚数单位的
i=√
-1
。
这个<
/p>
e
究竟是何方神圣呢？
在高中数学里，大家都学到过对数（
logarithm
）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以
10
为
底的，叫做常用对数（
common
logarithm
）
。课本里还简略提到，有一种以无理数
e=2.71828……
为底数
的对数，称为自然对数（
natural
logarithm
）
，这个
e
，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你
更大的
疑惑呢？在十进位制系统里，
用这样奇怪的数为底，难道会比以
10
为底更
「自然」
吗？更令人好奇<
/p>
的是，长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？
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