高中物理小船过河问题

萌到你眼炸
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2021年02月23日 09:18
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2021年2月23日发(作者：姨妈的后现代生活)


小船过河问题



轮船渡河问题：



（

< br>1


）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水 中过


河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对 水的


运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。



v


船



v


2


θ



v


1


V


水




1


．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间


t



d



1



d



，显然，当




90< /p>



时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最


船


sin


小为


d


，合运动沿


v


的方向进行。



v


2


．位移最小



若


< /p>


船




水



v


船



θ



v



v


水




结


论船头偏


向上游，


使得


合速度垂


直于河岸


，位


移为河宽


，偏离上


游的


角度为


cos




水




船


若


v


船


< /p>


v


水


，则不论船的航向如何，总是被水冲 向下游，怎样才能使漂下的距离最短


呢？如图所示，



B



v



A



α



E



v


船



θ



v


水




1 / 17


设船头


v


船


与河岸成


θ


角。合速度< /p>


v


与河岸成


α


角 。可以看出：


α


角越大，船漂下的距


离


x


越短，那么，在什么条件下


α


角最大呢？以


v


水


的 矢尖为圆心，


v


船


为半径画圆，当


v


与圆相切时，


α


角最大，根据


cos




v


船


v


水

< br>船头与河岸的夹角应为



v


船< /p>




arccos


，船沿河漂下的最短距离为：



v


水


x


min



(


v


水



v


船


cos



)



d



v


船


sin



此时渡河的 最短位移：


s



dv

< br>d



水



cos



v


船


【例题】河宽


d


＝


60m

< p>
，水流速度


v


1


＝


6m


／


s


，小船在静 水中的速度


v


2


=3m


／


s


，问：



(1)


要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河


?< /p>


最短时间是多少


?


(2)


要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河


?


最短的 航程是多少


?


★解析：


(1)


要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间



t



d



2



60


s< /p>



20


s



30


(2)


渡河航程最短有两种情况：



①船速


v


2


大于水流速度


v


1


时，即


v


2


>v


1


时，合速度


v


与河岸垂直时，最短 航程就是河


宽；



②船速


v


2


小于水流速度


v


l


时，即


v


2



1


时，合速度


v


不可能与河岸垂直，只有当合速度


v


方 向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以


v


1


的末端为圆心，以


v


2


的长度为半径作圆，从


v


1


的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所


示。



设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成


θ


角，则



2 / 17


cos




2


3


1




，



< /p>


60





1


6


2


d


60



m


< p>
120


m



6

< p>
cos



2


最短行程，< /p>


s



小船的船头与上游河岸成

< p>
60


0


角时，渡河的最短航程为

< br>120m


。



技巧点拔


：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数

学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能

力之一。



【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人， 假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流


去，水流速度为


v


1


，摩托艇在静水中的航速为


v


2


，战士救人的地点


A


离岸 边最近处


O


的距


离为

< br>d


，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离

< br>O


点的距离为


( C )


A


．


d



2





d



1


2


2


2


1


B


．


0


C


．



2


D


．


d



2



1



★解析：摩 托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的


运动是相对于 水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为


v


2


，


到达江岸所用时间


t=< /p>


d


；沿江岸方向的运动速度是水速


v


1


在相同的时间内，被水冲下的


v


2


dv


1


。答案：


C


v


2


距离，即 为登陆点距离


0


点距离


s



v


1


t

< br>


【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为 了


T


1


；若此船用最短的位移过河，则 需时间为


T


2


，若船速大于水速，则船 速与水速之比为


（





）



(A)


T


2


T


2


2



T< /p>


1


2




(B)


T


2



T< /p>


1


T


1



T


2


3 / 17


(C)


T


1


T


1


2



T< /p>


2


2




(D)


★解析：设船速为


v


1



，水速为


v


2



，河宽为


d


，则由题意可知



：



T


1



d


①



v


1


当此人用最短位移过河时，即合速度


v


方向应垂直于河岸，如图所示，则


T


2



d


v

< p>


v


2


1


2


2


②


2


v


1


2



v


2


T


1< /p>



联立①②式可得：



，进一步得



T


2


v


1


v


1


T


2




2


2


v


2


T


2



T


1


【例题】小河宽为


d


，河 水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，


v


水



kx


，


k< /p>



4


v


0


，


x


是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸 渡河，小船划水速度为


d


v


0


，则下列说法中正确的是（


A


）



A


、小船渡河的轨迹为曲线



B


、小船到达离河岸


d


处，船渡河的速度为


2


v


0

< p>


2


C


、小船渡河时的轨 迹为直线



D


、小船到达离河岸


3


d


/


4

< p>
处，船的渡河速度为


10


v


0


















4 / 17














































5 / 17














































6 / 17














































7 / 17














































8 / 17

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