小船过河问题的总结
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曲线运动习题课
一、船过河模型
1
< br>、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运
动，
即随水流的运动
(
水冲船的运动
)
和船相对水的运动，即在静水中的船的运动
（就是船头指向的方向）
，船的实际运动是合运动。
2
、
若小船要垂直于河岸过河，
过河路径最短，
应将船头偏向上游，
如图甲所示，
此时过河时间：
3
< br>、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河
时间
(d
为河宽
)
。
因为在垂直于河岸方向上，
位移是
一定的，
船头按这样的方向，
在垂直于河岸方向上的速度最大。
二、绳端问题（绳子末端速度分解）
绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。
例如在右图中，
用绳子通
过定滑轮拉物体船，
当以速度
v
匀速拉
绳子时，
求船的
速度。
解析：船的运动
(
即绳的末端的运动
)
可看作两个分运动的合成：
a)
沿绳的方向被牵引，
绳长缩短，
绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。
即为
v
；
b)
垂直
于绳以定滑轮为圆心的摆动，
它不改变绳长。
这样就可以求得船
的速
度为
,
当船向左移动，
α
将逐渐变大，
船速
逐渐变大。
虽然匀速拉绳子，
但物体
A
却在做变速运动。
绳子末端速度的分解问题，
是本章的
一个难点，
同学们在分解时，
往往搞不清
哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。
例
1
、如图
1
所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索
使小船靠岸，拉绳速度大小为
v1
，当船头的绳索与水平面夹角
为
θ
时，船的速度多大？
解析
<
/p>
我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合
成问题，
而物体相对于给定参照物
（一般为地面）
的实际运动是合运动，
实际运
动的方向就是合运
动的方向。
本例中，
船的实际运动是水平运动，
它产生的实际
效果可以
A
点为
例说明：一是
A
点沿绳的收缩方向的运动，二是
A
点绕
O
点沿
顺时针方向的转动，所以，船的实际速度
v
可分解为船
沿绳方向的速度
v1
和垂
直于绳的速度
v2
，如图
1
所示。由图可知：
v
＝
v1/cosθ
点评
不论是力的分解还是速度的分解
，
都要按照它的实际效果进行。
本例中，
若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，
就没有实际意义了，
因为
船并不存在竖直方向上的分运动
例
2 <
/p>
如图
2
所示，一辆匀速行驶的汽车将一重
物提起，在此过程中，重物
A
的运动情况是【
< br>
】
A.
加速上升，且加速度不断增大
B.
加速上升，且加速度不断减小
C.
减速上升，且加速度不断减小
D.
匀速上升
解析
物体
A
的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右
段
绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。
右段绳子实际上同时
参与两个运动：
沿
绳方向拉长及向上摆动。
将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度
v
沿绳子方向
和与绳子垂直方向分解，如图
3
所示，则沿
绳方向的速率即为物体
A
的速率
vA=
v1=vsinθ
。随着汽车的运动，
θ
增大，
vA=v1
增大，故
A
应加速上升。
由
v-t
图线的意义知，其斜率为加速
度，在
0°
～
90°
< br>范围内，随
θ
角的增大，
曲线<
/p>
y=sinθ
的斜率逐渐减小，所以
A<
/p>
上升的加速度逐渐减小。
答案
B
点评
<
/p>
本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一
般情况下，
物体相对于给定的参考系
（一般为地面）
的实际运动就是合运动，
本
例中，
汽车的实际运动就是合运动。
另外，
运动的分解要
按照它的实际效果进行。
跟综练习
如图
4
所示，汽车甲以速度
v1
拉汽车乙
前进，
乙的速度为
v2
，甲、乙都在水平面上运动，则
v1
∶
v2
＝
__________
。
答案
cosα
∶
1
小船渡河的问题补充
小船渡河的问题
，
就是讨论
“
船
”
、
“
水
”
、
“
岸
”
三者之间的相对运动的关系．
其中
“
船
相对于岸的运动
”
就是
“
船相对于水的运动
”
和
“
水相对于岸的运动
”
的合运动．
解决这类问题的基本思路：
第一，<
/p>
仔细分析与命题相关的三个考查对象之间的相对运动的关系，
正确
确定其
中哪一个运动可以看作是另外两个相对运动的合运动．
第二，
按照平行四边形定则，
画出已经
确定了的两个分运动和合运动的矢量关系
图，
然后分析这个平行
四边形矢量关系图，
根据已知条件计算待求未知量．
一般
说来，
任何一个命题，
必然给定了包括三个速
度的大小和方向的六个因素中的四
个，求另两个未知因素．
1
．小船过河问题的分析与求解方法
（
1
）处理方法：
小船在有一定流速的河中过河时，
实际上参与了两个方向的分运动，
即随水流的
运动（水冲船
的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船运动），船的实际运
动是合运动．
（
2
）若小船垂直于
河岸渡河，则过河路径最短，应将船头偏向上游．如图甲所
示，此时过河时间
t
＝
＝
若使小
船过河的时间最短，
应使船头正对河岸行驶，
如图乙所示，
此时过河时间
t
＝
(d
为河宽）．
〔例
3
〕一条宽度为
L
的河，水流速度为
v
水，已知船在静水中的速度为
v
船，
那么：
（
1
）怎样渡河时间最短？（
2
）若
v
船
>v
水，怎样渡河位移最小？（
3
）若
v
船
θ
水，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（
1
）如下左图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角
．这时船速在垂
直于河岸方向的速度分量为
v1
＝
v
船
sinθ
，渡河所需的时间为：
t
＝
＝
可以看
出：
L
、
v
船
一定时，
t
随
sinθ
增大而减小；
当
θ
＝
90°
时，
sinθ
＝
1
（最大）
．
所
以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短．
最短时
间：
tmin
＝
-