运动的合成和分解---小船过河问题
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小船过河问题经典习题
引语：
轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题。
轮船的渡河运动可看成水不动时轮船
的
运动及般不动时被流水带动的轮船的运动的合运动。常见的有三种问题。
1
、位移最小
河宽一定时，
轮船垂直河岸渡河位移最小
（
如下图所示，
图中
v1
表示水不动时的
船速，
t
v2
表示水速）
。
此时船头
斜指向上游，
合速度
v
垂直河岸，
< br>渡河时间
d
d
v
v
1
s
i
n
。
c<
/p>
o
s
另外，从图中可知
v
2
v
1
。
因为
0
cos
1
，所以只有
< br>v
2
v
1
时才有此情况。
2
、
渡河时间最少
t
在河宽、
船速一定时，
在一般情况下，
渡河时间
OA
OB
v
v
1
，
因为
d
OB
<
/p>
sin
t<
/p>
所以
d
d
v
1
sin
。显然，当
9
0
时，渡河时间最小为
v
，此时，对应的渡河如图，即
船头的指向与河岸垂直，合运动沿
v
的方向进行。
3
、
船速最小
在这种情况下，讨论在船的航向确
定时，船头如何指向，船在静水中的速度最小。
【典型例题】
【例】
一条宽度为
L
的河，水流速度为
（
1
）怎样渡河时间最短？
（
2
）若
（
3
）若
v
水
，已知船
在静水中速度为
v
船
，那么：
v
船
v
水
v
船
< br>
v
水
，怎样渡河位移最小？<
/p>
，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析
：
（
1
）
小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动
，一是
小船运动，
一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如
图
1
所示。设船头斜向上游与河岸
成任
意角
θ
。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为
v
1
v
< br>船
sin
，渡河所需要的时间
t
为
L
L
v
1
v
船
sin
，可以看出：
L
、
v<
/p>
船一定时，
t
随
sin
θ
增大而减小；当
90
时，
sin
1
（最大）
。所以，船头与河岸垂直
t
min
L
v
船
。
（
2
）如图
2
所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于
L
，必须使船的合速
度
v
的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于
0<
/p>
。这时船头应指向河的上游，并
与河岸成一定的角度
θ
，所以有
v
船
cos
v
水
arccos
，即
v
水
v
船
。
图
2
v<
/p>
v
水
因为
0
cos
1
，所以只有在
船
时，船才有可能垂直河岸渡河。
（
3
）若
呢？
v
船
v
水
，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距
离最短