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2021年2月23日发(作者：玻璃杯曹卉娟)

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法

知识点回顾

1

．不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：

“≠”、

“>” 、

“<” 、

“≥”、

“≤”

．

2

．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点 。解集包含边界点，是实心

圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右， 小向左。

< br>说明：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一 个范围，而一元一

次方程的解则是一个具体的数值．

3

．不等式的基本性质（重点）

(1)

不等式的两边都加上

(

或减去

)

同一个数或同一个整式．不等号的 方向不变．如果

a



b

，那么

a



c

__

b



c

< br>

(2)

不等式的两边都乘以

(

或除以

)

同一个正数，不等号的方 向不变．如果

a



b

< br>,

c



0

，那么

ac

__

bc

（或

a

b

___

）

c

c

（

3)

不等式的两边都乘以

(

或除以

)

同一个负数，不等号的方向改变

．如果

a



b

,

c



0

< br>那么

ac

__

bc

（或

a

b

___

< p>
）

c

c

说明

：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

< /p>

①若

a

－

b

＞

0

，则

a

大于

b

；②若

a< /p>

－

b

＜

0

，则

a

小于

b

；③若

a

－

b

≥

0

，则

a

不小于

b

；④若

a

－

b

a

a



0

，则

a

、

b

同号；⑥若

ab

＜

0

或



0

，则

a

、

b

异号。

b

b

任意两个实数

a

、

b

的大小关系：①a

-b>O



a>b

；②a

-b= O



a=b

；③

a-b



a

．

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但

a

＜

b

可转换为

b

＞

a

，

c

≥

d

可转换为

d

≤

c

。

4

．一元一次不等式（重点）

只含有一个未知数，且未知数的次数是

1

．系数不等于

0

的不等式叫 做一元一次不等式．

注：其标准形式：

ax+b

＜

0

或

ax+b

≤

0

，

ax+b

＞

0

或

ax+b

≥< /p>

0(a

≠

0)

．

5

．解一元一次不等式的一般步 骤（重难点）

(1)

去分母 ；

(2)

去括号；

(3)

移项；

(4)

合并同类项；

(5)

化系数为

1

．

x



1

3

x



1

例：

解不等式：





1

2

3

6

．一元一次不等式组

含有相同未知数的

几个

一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

说明：

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须

< br>是一元一次不等式，

且未知数相同；

②不等式组中不等式 的个数至少是

2

个，

也就是说，

可以是

2

个、

3

个、

4

个或更多．

7

．一元一次不等式组的解集

≤

0

，则

a

不大于

b

；⑤若

ab

＞

0

或

1

/

8

一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8.

不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设

a>b

）

（重难点）

< br>

不等式组

图示

解集



x



a





x



b



x



a



< br>x



b





x



a



x



b





x



a





x



b

x

< br>

a

（同大取大）

b

a

x



b

（同小取小）

b

a

b



x



a

（大小交叉

取中间）

b

a

无解（大小分离解为

空）

b

a

9

．解一元一次不等式组的步骤

(1)

分别求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)

利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组

的解集．

（三）常见题型归纳和经典例题讲解

1.

常见题型分类

(

加粗体例题需要作答

)

定义类

1.

下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）

A.

1

+1>2

x

2

m



1

B.

x

>9 C.2

x

+

y

≤

5

2

D.

1

(

x

－

3)<0

2

2.

若

(

m



2

)

x



1



5

是关于

x

的一元一次不等式，则该不等式的 解集为

.

用不等式表示

a

与

6

的和小于

5

；

x

与

2

的差小 于－

1

；

数轴题

1.a

< br>,

b

两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“ ＞”号填空：

a

_________ _

b

; |

a

|__________|

b

|;

a

+

b

___ _______0

a

－

b

< p>
__________0;

a

+< /p>

b

__________

a

－

b

;

ab< /p>

__________

a

.

2.

已知实数

a

、

b

在数轴上对应的点如图所示， 则下列式子正确的是（

）

A

、

ab

＞

0 B

、

a



b< /p>

C

、

a

－

b

＞

0 D

、

a

＋

b

＞

0

2

/

8

同等变换

1.

< br>与

2

x

<6

不同解的不等式是（

）

A.2

x

+1<7

B.4

x

<12 C.

－

4

x

>

－

12

D.

－

2

x

<

－< /p>

6

借助数轴解不等式

(

组

):

(

这类试题在中考中很多见

)

< br>

x



1

≥

0



1



1.

（

20 10

湖北随州

）解不等式组



3





3



4(

x



1)



1

< br>

2.

（

2010

福建宁德

）解不等式

2

x< /p>



1

5

x



1

≤

1

< p>
，并把它的解集在数轴上表示出来．



3

2



1



2(

x



1)



1,



3.

（

2006

年绵阳市

）



x

1





x

.





2

< br>3

此类试题易错知识辨析

（< /p>

1

）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况

.

如不等式

ax



b< /p>

（或

ax



b< /p>

）

（

a



0

）的形式的解集：

当

a



0

时，

x



b

b

（或

x



）

a

a

当

a



< br>0

时，

x



（或

x



b

a

b

b

b

）

当

a



0

时，

x



（或

x



）

a

a

a

4 < /p>

若不等式

(a

＋

1)x

＞

a

＋

1

的解集是

x

＜

1

，则

a

必满足

( )

．

(A)a

＜

0

(B)a

＞－

1

(C)a

＜－

1

5

若

m< /p>

＞

5

，试用

m< /p>

表示出不等式

(5

－

m

)

x

＞

1

－

m

的解集

______

．

< br>6.

如果不等式

(

m

< p>
－

2)

x

>2

< p>
－

m

的解集是

x

<

－

1,

则有（

）

A.

m

>2

B.

m

<2 C.

m

=2

7.

如果不等式

(

a

－

3)

x

＜

b

的解集是

x

＜

(D)a

＜

< br>1

D.

m

≠

2

b

，那么

a

的 取值范围是

________.

a



3

限制条件的解

1.

不等式

3(

x

－

2)

≤

x

+4

的非负整数解有几个

.

（

）

A.4

B.5 C.6

2.

不等式

4

x

－

A.1

D.

无数个

1

11



x



的最大的整数解为（

）

4

4

B.0 C.

－

1

D.

不存在

含绝对值不等式

不等式

|

x

|<

7

的整数解是

________.

不等式

|

x

|<1

的解集是

________.

3

分类讨论

1.

已知

ax

＜

2

a

(

a

≠

0 )

是关于

x

的不等式，那么它的解集是

( )

3

/

8

A.

x

＜

2 B.

x

＞－

2 C.

当

a

＞

0

时，

x

＜

2 D.

当

a

＞

0

时，

x

＜

2;

当

a

＜

0

时，

x

＞

2

不等式的性质及应用

1.

若

x< /p>

＋

y

＞

x

－

y

，

y

< p>
－

x

＞

y

，那么（

1

）

x

＋

y

＞

0

< br>，

（

2

）

y

－

x

＜

0

，

（

3

）

xy

≤

0,

（

4

）

序号为

___ _____

。

2

（

2010

四川乐山

）下列不等式 变形正确的是（

）

(A)

由

a

＞

b

，得

a



2

＜

b



< p>
2

(B)

由

a

＞

b

，得



2

a

＜



2

< p>
b

(C)

由

a

＞

b

，得

a

y

＜

0

中，正确结论的

x

＞

b

(D)

由

a

＞

b

，得

a< /p>

＞

b

2

2

依据题意列不等式

1.

当

x_______

时< /p>

,

代数式

2x

－

5

的值不大于

0.2.

当

x

________

时，代 数式

3.

当代数式

x

< br>

3

5

x



1

的值是非负数

.



2

6

x

< br>－

3

x

的值大于

10

时，

x

的取值范围是

________.

2

1

1

4.

已知

x

的

与

3

的差小于

x

的－

与－

6

的和，根据这个条件列出不等式

.

你能估计出它的解 集吗？

2

2

已知解集求范围

< br>1.

关于

x

的方程

5

－

a(1

－

x)

＝

8x

－

(3

－

a)x

的解是负数， 则

a

的取值范围是

( )

A

、

a

＜－< /p>

4

B

、

a

＞

5 C

、

a

＞－

5 D

、

a

＜－

5

2.

已知－

4

是不等式

ax

＞

9

的解集中的一个值，试求

a

的取值范围

.

3.

已知不等式

x

< p>
－

1

＞

x

与

ax

－

6

< br>＞

5

x

同解，试求

a

的值

.

2

4.

如果关于

x

< p>
的不等式－

k

－

x

＋

6

＞

0

< p>
的正整数解为

1

，

2

，

3

，正整数

k< /p>

应取怎样的值？

5.

< br>不等式

a

(

x

< br>－

1)>

x

+1

－

2

a

的解集是

x

<

－

1,

请确定

a

是怎样的值

.



3

x



2

y



p



1

,

6

< br>．已知关于

x

，

y

的方程组



的解满足

x

＞

y

，求

p

的取值范围．

4

x



3

y



p



1



7.

若关于

x

的方程

3

x

+2

m

=2

的解是正数，则

m

的取值范围是（

）

A.

m

>1

B.

m

<1 C.

m

≥

1

D.

m

≤

1

字母不等式

1

已知关于

x

的不等式

< p>
2

＜

(

1



a

)

x

的解集为

x

＜

2

< br>，则

a

的取值范围是（

）

．

1



a

4

/

8

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