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2021年2月23日发(作者：文科生就业好的专业)

统筹规划

知识框架

统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科 学的安排好

先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重 视数学的应用，并亲自带领

小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务 ，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统

筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导 意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，

使它们能发挥最大效率的科学 。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对

策、实验最优 等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知

识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索

的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、 用数学最

好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日 常生活、工

作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是 这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”

。

例题精讲

一、合理安排时间

【例

1

】

星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要

20

分钟，收拾厨房要

15

分钟，洗脏衣服的领子、袖口要

10

分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要

40< /p>

分钟，晾衣服要

10

分钟。妈妈干完所有 这些事情最少

用多长时间？

【考点】统筹规划

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

如

果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要

95

分钟。要想节 约时间，就要想想在哪段时间

里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是： 先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开

全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的

< br>40

分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需

60< /p>

分钟（见

下图）

。

【答案】

60

分钟

【巩固】

妈妈让小明给客人烧水沏茶 。洗开水壶要用

1

分钟，烧开水要用

1 5

分钟，洗茶壶要用

1

分钟，

洗茶杯要用

1

分钟，拿茶叶要用

2

分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花

20

分钟。为了使

Page1

of

15

客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了

?

【考点】统筹规划

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

在

这道题里，最合理的安排应该最省时间。先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等

15

分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只 用

16

分钟。

【答案】

16

分钟

【例

2

】

6

个人 各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满

6

个人的水桶所需时间 分别是

5

分钟、

4

分钟、

3

分钟、

10

分钟、

7

分钟、

6

分钟．

现在只有这一个水龙头可用，

问怎样安排 这

6

人的打水次序，

可使他们总的等候 时间最短？这个最短时间是多少？

【考点】统筹规划

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

第

一个人接水时，包括他本人在内，共有

6

个人等候，第二个人接 水时，有

5

个人等候；

第

6

个人接水时，只有他

1

个 人等候．可见，等候的人越多

(

一开始时

)

，接水时间应当越短，这样

总的等候时间才会最少，因此， 应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是

3



6



4



5



5



4



6



3



7



2



10



100

(

分

)

．

【答案】

100

分

【

巩

固

】

< br>有

甲、乙两个水龙头，

6

个人各 拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满

6

个人的水桶所需时间分

别是

5

分钟、

4

分钟、

3

分钟、

10

分钟、

7

分钟、

6

分钟．怎么安排这

6

个人 打水，才能使他们等

候的总时间最短，最短的时间是多少？

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

一

人打水时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打．安排需

3

分钟的，然后

5

分钟的，最后< /p>

7

分钟的在甲水龙头打；安排需

4

分钟的，然后

6

分钟的，最后

10

分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头

3

分钟的人打时，有

2

人等待，占用三人的时间和为< /p>

(

3



3

)

分；然后，需

5

分钟的人打水，有

1

人等待，占用两人 的时间和为

(

5



2

)

分；最后，需

7

分钟的

人打水，无人等待．甲水龙头打水的三个人，共用

(

3



3



5



2

< /p>

7

)

分，乙水龙头的三人，共用

(

4



3



6



2

< br>

10

)

分．等候总时间为

25

分．

【答案 】

25

分

【例

3

】

小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁

4

头牛．甲牛过河需要

1

分钟，乙牛过河需要

2

分钟，丙牛过河需要

5

分钟，

丁牛过河需要

6

分钟．每次只 能赶两头牛过河，那么小明要把这

4

头牛都赶到对岸，最小要用 多少分钟？

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

要

想用最少的时间，

4

头牛都能过河，保证时间最短：

< p>

第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：

2



1



3

(

分钟

)

；

第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回 ，共用了

6



2



8

(

分钟

)

；

Page2

of

15

第三步：最后小明骑甲与乙一起 过河用了

2

分钟；

< br>所以，小明要把这

4

头牛都赶到对岸，最小要用

3



8



2



13

(

分钟

)

．

< br>【答案】

13

分钟

【

巩

固

】

有

四个人在晚 上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让

2

个人同时通 过，否则桥会倒

塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．< /p>

4

个人的行走速度不同：

小强用

1

分种就可以过桥，中强要

2

< br>分中，大强要

5

分中，最慢的太强需要

< br>10

分中．

17

分钟后

桥就要倒塌了．请问：

4

个人要用什么方法才能 全部安全过桥？

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

小

强和中强先过桥，

用

2

分钟；

再用小强把电筒送过去，

用

1

< br>分钟，

现在由大强跟太强一起过桥，

用

< br>10

分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用

2

分钟，最后小强与中强一起过河再用

2

分钟，< /p>

他们一起用时间：

2



< br>1



10



2



2



17

(

分钟

)

，正好在桥倒塌的时候全部过河．

(

时间最短过河的

< p>
原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的

)

．

【答案】

17

分钟

二、合理安排地点

【例

4

】

如图，在街道上有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站

的距 离之和最短，车站应该设在何处？

A

B

C

D

E

F< /p>

【考点】统筹规划

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

找

最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个

楼都一样，路程和最短，所以可以建在

C

或

D

．如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，< /p>

那么

CD

之间及点

C

、

D

均可．

【答案】

CD

之间及点

< p>
C

、

D

均可

【

巩

< br>固

】

如

图，在街道上有

A

、

B

、

C

、

D

< br>、

E

五栋居民楼，每栋楼里每天都有

20

个人要坐车，现在设立一

个公交站，要想使居民到达车 站的距离之和最短，应该设在何处？

A

B

C

D

E

【考点】统筹规划

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

如

果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站放在

C

点．因为每栋楼的 人数相同所以数量不影响选

择，所以答案不影响，应该把车站 放在

C

点．

【答案】

C

点

【例

5

】

在一条公路上每隔

100

千米，有一个仓库

(

如图

)

共有

5

个仓库，一号仓库存有

10

吨货物，二号

Page3

of

15

仓库有

20

吨货物，五号仓库存有

40

吨货物 ，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中

存放在一个仓库里，如果每吨货物运输

1

公里需要

0.5

元运输费，那么最少要多少运费才行？

一

10

吨

二

20

吨

三

四

五

40

吨

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

做

此类问题时我们都可以根据

“

小往大处靠

”

的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把

一号仓 库的

10

吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在 二号仓库中就有

30

吨货物

了．再根据

“

小往大处靠

”

的原则，那么这

30

吨货物应该集中到五号仓库中．

所以所需的费用是：

10



0.5



100



500

(

元

)

，

30



< br>0.5



300



4500

(

元

)

< p>
，

共需要：

500



4500



5000

(

元

)

．

【答案】

5000

元

【

巩

固

】

在

一条公路上，每隔

10

千米有一座仓库

(

如图

)

< p>
，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重

量．现在要把所有的货物集 中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输

1

千米需要运费

0.9

元，那

么集中到哪个仓库运费最少？< /p>

10

吨

A

30

吨

B

20

吨

C

10

吨

D

60

吨

E

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

这

道题可以用

“

小往大处靠

”

< p>
的原则来解决．

E

点

60

吨，存的货物最多，那么先处理小势力，

A

往

E

那个方向集中，集中到

B

，

B

变成

40

吨，判断仍是

E

的势力最大，所以继续向< /p>

E

方向集中，

B

点集中到

C

点，

C

点变成

60

吨．此时

C

< p>
点和

E

点都是

60

吨，那么

C

、

E

谁看成大势力都可以．例

如把

E

< p>
点集中到

D

点，

D

点是

70

吨．所以

C

点也要集中到

D

点．确定了集中地点， 运输费用也

就容易求了．运费最少为：

（

10



30



30



20



20



10



60



10

）



0.9



1530

(

元

)

．

【答案】

1530

元

< p>

【例

6

】

某个班的

20

个学生的家庭住址在城市中的分布如图

（圆点是各个学生 的家庭住址，

线段是街道）

，

如果这个 班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择

十字路口附近的地点。（横线上填十字路口的坐标，如

所在的十字路 口的坐标为

D

3

）。

< br>

Page4

of

15

1

2< /p>

3

4

5

6

7

8

9

A

< p>
B

C

D

E

F

G

第

10

< br>题

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

先

从横着考虑，学生的分布情况如下

A

B

9

C

2

D

2

E

3

F

4

G

那么应该选择

C

和

D

之间，观察

C

和

D

之间的两点靠

C

近一点，所以选

C

节点。

再从竖着考虑，学生分布情况如下

1

1

2

5

3

4

4

1

5

1

6

4

7

3

8

1

9

< br>

应该选在节点

4

上

综上所述，答案应该是

C

< p>
4

。

【答案】

C

4

【

巩

固

】

右

图是

A

，

B

，

< p>
C

，

D

，

E

五个村之间的道路示意图，

○

中数字是各村要上学的学生人数，道路上的

数表示两村之间的距离

(

单位：千米

)

．现在要在五村之 中选一个村建立一所小学．为使所有学生

到学校的总距离最短，试确定最合理的方案．< /p>

A

40

2

B

20

3

20

C

4

35

D

50

E

5

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

“

小往大处靠

”

的原则来解决，

A

点向

C

点集中，因为根据

“

小往大处靠

”

的原则，虽然

A

点

40

人比

C

点

20

人多，但 是人最多的点是

E

点，所以大方向是向

E

点的方向靠拢．那么

B

点当然也要向

C

点靠拢．

C

点就有

80

人了．

此时人数最多的点变 成了

C

点了．

D

、

E

又变成小势力了，

因此还是

“

小

Page5

of

15

往大处靠

”

的原则，看大方向，

E

点要向

D

点靠拢．此时

D

点变成

85

人了．那么

D

点比此时

C

点

的

80

人多了．

C< /p>

点又变成小势力了．所以最终要集中在

D

点．也就是学校要设在

D

点．

【答案】

D

点

三、合理布线和调运

【例

7

】

有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可 以用

粗、细两种水管，粗管每千米

7000

元，细管每千米

2000

元．粗管足够供应所有各村用水， 细

管只能供应一个村用水，

各村与县城间距离如右图所示

(

图中单位是千米

)

，

现要求按最节约的方

法铺设，总费用是多少？

30

县城

A

1

5

2

4

2

3

2

2

2

5

A

10

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

A

A

8

9

< br>【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

由

于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到

A

1

村要铺设

10

根细管 ，

A

1

村到

A

2

村要铺设

9

根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．

因为粗管每 千米

7000

元，细管每千米

2000

元，所以

4

根细管的价钱将大于

1

根粗管的价钱．这

样一来，凡是超过

3

根细管的路段，都应改铺粗管．

因此，

从县城到

A

7< /p>

村铺

1

根粗管，

A

7

村到

A

8

村铺

3

根细管，

A

8

村到

A

9

村铺

2

根细管，

A

9

村到

A

10

村铺

1

根细管．

总费用为：

7000



（

30



5



2



4

< p>


2



3



2

）



2000



（

2

< br>

3



2



2



5



1

）



366 00

(

元

)

．

【答案】

36600

元

【

巩

固

】

新

建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水

(

如下图，距离 单位为千米

)

，要安装水管有粗

细两种 选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用

8000< /p>

元，

细管每千米要

2000

元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项

工 程费用最低？费用是多少元？

自来水厂

30

A

5

B

2

C

4

D

2

E

3

F

2

G

2

H

2

I

5

J

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

由

于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从自来水厂到

J

村要铺设

10

根细管，自来水厂到

I

村要铺设

9

根细管， 依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管

是细管价格的

4

倍，如果用细管代替粗管重叠数超过

4

条费用更大，仅在

3

条或

3

条以下才会节

约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到< /p>

G

村为止，再用三条细管连接

H

、

I

、

J

三个村，

这样费用最低，

总费用：

< br>8000



（

30



5



2

< br>

4



2



3



2

）



2000



（

2



3

< /p>

2



2



5

）



414000

(

元

)

．

【答案】

41 4000

元

Page6

of

15

【例

8

】

北京和上海同时制成了电子计算 机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地

10

台，上海可

以支持外地

4

台．现决定给重庆

8

台，汉口

6

台，若 每台计算机的运费如右表，上海和北京制

造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的 运费最省？最省的运费是多少？

运费

/

元

到站

发站

北京

上海

汉口

4

3

重庆

8

5

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

方

法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有

3

百元，但是上 海到汉口比北京到汉口只节省

(

4< /p>



3



)1

百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省

(

8



5



)3

百元．所以重庆

所需台数应由上海尽量满足，即上海的

4

台全部调运重庆，北京再补给重庆

4

台，汉口

的

6

台从北京调运．总运费为：

5



4



8



4



4



6



76

(

百元

)

方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口

x

台，调运重庆

(

10



x

)

台，则 上

海应调运汉口

(

6

< br>

x

)

台，调运重庆

< p>
4



（

6



x

）



x



2

(

台

)

，总运费

W



4

x



（

8

10

< /p>

x

）



（

3

6



x

< p>
）



（

5

x



2

）



4

x



80



8

x



18



3

x< /p>



5

x



10



88



2

x

，因为要使总运费

88



2

x

最

小，需要

2

x

最大．由于

x

是北京调运汉口的台数，且

x



6

，所以当

< br>x



6

时，总运费

W



88



2



6



76

(

百元

)

最小．由

x



6

< br>可知，北京调运汉口

6

台，调运重庆

4

台，上海

调运汉口

0

< p>
台，调运重庆

4

台．

< /p>

【答案】北京调运汉口

6

台，调运重庆< /p>

4

台，上海调运汉口

0

< br>台，调运重庆

4

台

.

76

百元

【

巩

固

】

北

京、上海分 别有

10

台和

6

台完全相同的机器，准备给武汉

11

台，西安

5

台，每台机器的运费

如右表，如何调运能使总运费最 省？

运费

/

元

到站

发站

北京

上海

武汉

500

700

西安

600

1000

【考点】统筹规划

【难度】

3

星

【题型】解答

【解析】

与

例题不同的是，北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，没有出现一高一低的情况．此时，

可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案．

⑴

上表中第一行的差价为

< p>
600



500



100

(

元

)

，第二行的差价为

1000



700



300

(

< p>
元

)

．说明从北

京给西安 多发

1

台机器要多付运费

100

元，

而从上海给西安多发

1

< br>台机器要多付运费

300

元．

所

以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要

5

台，于是可知北京调往西安

5

台，其余

5

台

调往武汉，上海

6

台全部调往武汉，总运费为：

600



5



500



5



700



6



9700

(

元

)

．

⑵

如果改为看表中的列，那么

由于第一列的差价为

700



500



200

(

< p>
元

)

，第二列差价

为

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